Распространенным случаем является наличие тренда как результата накопления небольших стохастических флуктуаций, которые не имеют систематической основы. Самым распространенным случаем является валютный курс или курс акций на участке стабильности.
В этом случае есть некоторые четко определенные способы удаления тенденции из данных, для экстраполяции ее в будущее.
Простейшей моделью, отражающей стохастический тренд, является так называемое случайное блуждание.
Пусть \(\{y_t\}\) - последовательность случайных величин. Тогда значение в момент времени t получается из предыдущего значения через соотношение \begin{equation}\label{1.18} y_t=y_{t-1}+\varepsilon_t, \end{equation} где \(\varepsilon_t\) является элементом последовательности белого шума, то есть \begin{equation}\label{1.19} E\{\varepsilon_t\}=0,V\{\varepsilon_t\}=\sigma^2, \forall t. \end{equation} Отсюда следует \begin{equation}\label{1.20} y_t=y_{0}+\varepsilon_1+\varepsilon_2+..+\varepsilon_{t-1}+\varepsilon_t. \end{equation} Получаем \(y_t\) как сумму начального значения \(y_0\) и накопления стохастических приращений.

Пример последовательности белого шума.

Если \(y_0\) имеет фиксированное значение, то из (\ref{1.20}) и (\ref{1.19}) среднее и дисперсия \(y_t\) определяются следующим образом \begin{equation}\label{1.21} E\{y_t\}=0,V\{y_t\}=t\times \sigma^2. \end{equation} Если же исходная точка находится в неопределенном прошлом, а не в момент времени \(t = 0\), то среднее и дисперсия не определены.
Чтобы свести случайное блуждание к стационарному стохастическому процессу, рассмотрим первые разности. \begin{equation}\label{1.22} y_t-y_{t-1}=\varepsilon_t, \end{equation} Заметим, что если дисперсия белого шума мала, то и значения стохастических приращений также будут малы. Является спорным, заслуживает ли результат такого процесса быть названным тенденцией.
Предсказание (прогноз) на \(h\) шагов вперед \(\hat{y}_{t+h}\), сделанное в момент \(t\) обозначим через \(\hat{y}_{t+h|t}\).
Нет лучшего способа предсказать результат случайного блуждания, чем взять последнее наблюдаемое значение и экстраполировать его на бесконечность в будущее. То есть, в качестве ожидаемых значений можно взять \begin{equation}\label{1.23} y_{t+h}=y_{t+h-1}+\varepsilon_{t+h}. \end{equation} Предсказания \(\hat{y}\), которые обусловлены информацией о множестве \(I = \{y_t,y_{t-1},...\}\), содержащем наблюдения по ряду до момента времени t, можно обозначить следующим образом: \begin{equation}\label{1.24} E\{y_{t+h|I_t}\}= \left\{ \begin{array}{ll} \hat{y}_{t+h|t}, & \hbox{ если }h\gt 0, \\ y_{t+h}, & \hbox{ если } h\le 0 \end{array} \right. \end{equation} и, соответственно, если \(h\gt 1\), то можно получить предсказание на шаг вперед \[ E\{y_{t+h|I_t}\}=\hat{y}_{t+h|t}=\hat{y}_{t+h-1|t},\\ E\{y_{t+1|I_t}\}=\hat{y}_{t+1|t}=y_{t}. \] В первом случае из (\ref{1.23}) получаем \(E\{y_{t+h|I_t}\}=0\). Во втором, который исходит из прогноза (\ref{1.22}), используем тот факт, что \(y_t\) уже известно.
Случайное блуждание первого порядка или просто случайное блуждание — математическая модель процесса случайных изменений в дискретные моменты времени. При этом предполагается, что изменение на каждом шаге не зависит от предыдущих и от времени.
Случайное блуждание второго порядка формируется путем накопления значений процесса первого порядка. Таким образом, если \(\{\varepsilon_t\}\) и \(\{y_t\}\) соответственно являются белым шумом и последовательностью случайного блуждания, то \begin{equation}\label{1.26} z_{t}=z_{t-1}+y_{t}=z_{t-1}+y_{t-1}+\varepsilon_t=2z_{t-1}-z_{t-2}+\varepsilon_t \end{equation} будет случайным блужданием второго порядка.

Случайное блуждание второго порядка и масштабированное соответствующее блуждание первого порядка.

Естественно, что \(y_{t-1}=z_{t-1}-z_{t-2}.\)
Характер процесса случайного блуждания второго порядка можно понять, признав, что он представляет собой тенденцию, для которой наклон (производная) соответствует порождающему его случайному блужданию. Если случайное блуждание изменяется медленно, то наклон этого тренда тоже может измениться только постепенно.
Покажем, что предсказание, использующее случайное блуждание второго порядка сводится к линейной аппроксимации.
Из (\ref{1.26}) имеем \[ E\{z_{t+h|I_t}\}=\hat{z}_{t+h|t}=2\hat{z}_{t+h-1|t}-\hat{z}_{t+h-2|t},\\ E\{z_{t+1|I_t}\}=\hat{z}_{t+1|t}=2z_{t}-z_{t-1}, \] что позволяет построить простую итерационную схему \[ \hat{z}_{t+h|t}=\alpha+\beta h, \hbox{ где }\alpha=z_t,\beta=z_t-z_{t-1}, \] что и генерирует линейный тренд.
Этот подход можно обобщить, построив случайные блуждания высших порядков. Таким образом, случайное блуждание третьего порядка формируется путем накопления значений процесса второго порядка и при этом, процесс третьего порядка приведет к возникновению локальных квадратичных тенденций, а соответствующий способ прогнозирования его значений - квадратичная экстраполяция.
Стохастическая тенденция случайных блужданий может быть обобщена путем добавления нерегулярной составляющей. Простая модель состоит из случайного блуждания первого порядка с добавленной компонентой белого шума. Модель задается уравнениями \begin{equation}\label{1.30} y_t=\xi_t+\zeta_t, \xi_t=\xi_{t-1}+\eta_t, \end{equation} где \(\zeta_t\) и \(\eta_t\) генерируются двумя взаимно независимыми белыми шумовыми процессами.
Отсюда получаем \[ y_t-y_{t-1}=\xi_{t}-\xi_{t-1}+\zeta_t-\zeta_{t-1}=\eta_t+\zeta_t-\zeta_{t-1}. \] Последнее выражение перепишем в виде \[ \eta_t+\zeta_t-\zeta_{t-1}=\varepsilon_t-\mu\varepsilon_{t-1}, \] где \(\varepsilon_t\) и \(\varepsilon_{t-1}\) являются элементами последовательности белого шума и \(\mu\) является параметром соответствующего значения. Таким образом, комбинация случайного блуждания и белого шума приводит к единственному уравнению \begin{equation}\label{1.33} y_t=y_{t-1}+\varepsilon_t-\mu\varepsilon_{t-1}. \end{equation} Прогноз на h шагов вперед, который получается из соотношения \[ y_{t+h}=y_{t+h-1}+\varepsilon_{t+h}-\mu\varepsilon_{t+h-1} \] позволяет записать \[ E\{y_{t+h|I_t}\}=\hat{y}_{t+h|t}=\hat{y}_{t+h-1|t}. \] Получаем прогноз на один шаг вперед \begin{equation}\label{1.35} E\{y_{t+1|I_t}\}=\hat{y}_{t+1|t}=y_{t}-\mu\varepsilon_t=y_t-\mu(y_t-\hat{y}_{t|t-1})=(1-\mu)y_t+\mu\hat{y}_{t|t-1}. \end{equation} Отсюда получаем \begin{equation}\label{1.36} \hat{y}_{t+1|t}=(1-\mu)(y_t+\mu y_{t-1}+...+\mu^{t-1}y_1)+\mu^t\hat{y}_{0} \end{equation} и в случае, если стартовое значение не определено, то \[ \hat{y}_{t+1|t}=(1-\mu)(y_t+\mu y_{t-1}+\mu^{2}y_{t-1}+...). \] Полученное равенство называется экспоненциально-взвешенной скользящей средней и является основой широко используемой процедуры прогнозирования, известной как экспоненциальное сглаживание. Нетрудно видеть, что экспоненциальное среднее скользящее считает более поздние данные более важными, что является критичным во многих, как технических, так и экономических задачах.

К сожалению, в реальных задачах даже при условии наличия информации о периоде цикла, заменить циклическую компоненту синусоидой (даже с фазовым сдвигом) не представляется возможным.
Например, известны температурные значения, приведенные в таблице
Графически этот временной ряд выглядит следующим образом Как видно, даже на этом примере, сезонные изменения достаточно нерегулярны. Чтобы получить модель сезонных изменений, достаточно модифицировать уравнение гармонического движения (\ref{2.1}), наложив на него возмущающий член, который влияет на амплитуду. Чтобы смоделировать цикл, который в большей степени определяется случайностью, нужно построить модель, которая имеет случайные эффекты как в фазе, так и в амплитуде.
Для начала представим себе еще раз точку на окружности окружности радиуса \(\rho\), которая движется с угловой скоростью \(\omega\). В момент t = 0, когда точка создает положительный угол θ с горизонтальной осью, координаты даются выражением \begin{equation}\label{2.16} (\alpha,\beta ) = (\rho \cos\theta, \rho \sin \theta). \end{equation} Чтобы определить координаты точки после поворота на угол \(\omega\) за один период времени мы можем рассмотреть компоненты векторов отдельно \[ (\alpha,0)\stackrel{\mathrm{\omega}}{\longrightarrow} (\alpha\cos\omega,\alpha\sin\omega),\\ (0,\beta)\stackrel{\mathrm{\omega}}{\longrightarrow} (-\beta\sin\omega,\beta\cos\omega). \] или совместно, сложив их \[ (\alpha,\beta)\longrightarrow{\omega} (y,z)=(\alpha\cos\omega-\beta\sin\omega,\alpha\sin\omega+\beta\cos\omega). \] В матричном виде получаем следующее преобразование \begin{equation}\label{2.19} \left[ \begin{array}{c} y \\ z \\ \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{cc} \cos\omega & -\sin\omega \\ \sin\omega & \cos\omega \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \\ \end{array} \right] \end{equation} По сути, это преобразования вращения вокруг начала координат. Чтобы ввести соответствующие нарушения в движение, можем на каждом шаге добавить случайное нарушение для каждого из его компонентов. \begin{equation}\label{2.20} \left[ \begin{array}{c} y_t \\ z_t \\ \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{cc} \cos\omega & -\sin\omega \\ \sin\omega & \cos\omega \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} y_{t-1} \\ z_{t-1} \\ \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{c} \xi_{t} \\ \zeta_{t} \\ \end{array} \right] \end{equation} Теперь характер движения радикально изменяется. При такой постановке не существует ограничений на амплитуды, которые компоненты могли бы приобрести в долгосрочной перспективе, а также тенденция к тому, чтобы фазы их циклов менялись без ограничений. Тем не менее, в отсутствие необычайно больших возмущений, траектории у и z в течение ограниченного периода времени могут быть похожи на траектории простых гармонических движений.
Первое из уравнений в матричном выражении можно записать в виде \begin{equation}\label{2.21} y_t=cy_{t-1}-sz_{t-1}+\xi_t, \end{equation} второе, со сдвижкой на один период, дает \begin{equation}\label{2.22} z_{t-1}-cz_{t-2}=sy_{t-2}+\zeta_{t-1}. \end{equation} Из (\ref{2.21}) получаем \[ cy_{t-1}=c^2y_{t-2}-csz_{t-2}+\xi_{t-2} \] и из (\ref{2.22}), исключая z, получаем \begin{equation}\label{2.23} y_t-cy_{t-1}=cy_{t-1}-c^2y_{t-2}-sz_{t-1}+csz_{t-2}+\xi_{t}-c\xi_{t-1}= cy_{t-1}-c^2y_{t-2}-s^2y_{t-2}-s\zeta_{t-1}+\xi_t-c\xi_{t-1}. \end{equation} Замечая, что \(c^2y_{t-2}+s^2y_{t-2}=y_{t-2}\), то есть (\(\sin^2\omega+\cos^2\omega=1\)), и введя новую переменную \(\varepsilon_t=\xi_t-s\zeta_{t-1}-c\xi_{t-1}\), получаем \begin{equation}\label{2.24} y_t=2\cos\omega y_{t-1}-y_{t-2}+\varepsilon_t. \end{equation}

Пример псевдоциклической последовательности (\ref{2.24}) при \(\omega=\pi/6.\)

Нужно сказать, что в этом случае \(\{\varepsilon_t\}\) не обязательно является белым шумом. Записывая \begin{equation}\label{2.25} \left[ \begin{array}{c} \xi_t \\ \zeta_t \\ \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c} -\sin\omega \\ \cos\omega \\ \end{array} \right] \eta_t, \end{equation} можно утверждать, что \(\{\eta_t\}\) есть последовательность из значений белого шума, элементы которой взаимно некоррелированы.

Разложение Фурье временного ряда

Несмотря на то, что описание временного ряда тригонометрическими функциями не является точным средством моделирования циклической составляющей, есть основание для их использования. Это основание имеет свое название - теорема Дирихле, которая утверждает, что если функция f(x) имеет конечное количество точек строгого экстремума и может иметь не более чем конечное количество точек разрыва, причем только первого рода, тогда такая функция разлагается в ряд Фурье. Проблема только в том, что ряд не является конечной последовательностью и практически вместо ряда нужно использовать конечную сумму \begin{equation}\label{2.26} y_t=\sum_{j=0}^n\left\{\alpha_j\cos(\omega_jt)+\beta_j\sin(\omega_jt)\right\}. \end{equation} Положим T = 2n четно, эта сумма содержит T функций, и частоты \[ \omega_j=\frac{2\pi j}{T},j=0,...,n=\frac{T}{2} \] которые соответствуют равноотстоящим точкам на промежутке \([0,\pi]\).
При этом в сумме (\ref{2.26}) два значения равны нулю \(\sin(\omega_0t)=\sin 0 \) и \(\sin(\omega_nt)=\sin (\pi t) \).
Отсюда следует, что отображение значений выборок в коэффициенты представляет собой взаимно однозначное обратимое преобразование. Тот же вывод получаем и в случае, когда Т нечетно.
Угловая скорость \(\omega_j = 2 \pi j/ T\) относится к паре тригонометрических компонентов, которые выполняют j циклов c периодом T. Наибольшая скорость \(\omega_n = \pi\) соответствует так называемой частоте Найквиста (Nyquist). Если в сумму в (\ref{2.26}) была включена компонента с частотой, превышающей \(\pi\), то ее эффект был бы неотличим от компонента с частотой в диапазоне \([0; \pi]\). Чтобы продемонстрировать этот факт, рассмотрим случай косинусной волны с единичной амплитудой и нулевой фазой, частота которой \(\omega\) лежит в интервале \(\omega\in (\pi,2\pi)\) и пусть \(\hat{\omega}=\pi-\omega\), тогда \[ \cos(\omega t)=\cos(2\pi-\hat{\omega})t=\cos(2\pi)\cos(\hat{\omega t})+\sin(2\pi)\sin(\hat{\omega t})=\cos(\hat{\omega}t), \] то есть, \(\omega\) и \(\hat{\omega}\), наблюдаемо неотличимы.

Рассмотрим метод нахождения циклической компоненты с использованием дискретного тригонометрического преобразования со свободным фазовым сдвигом. Идея алгоритма состоит в следующем - угол фазового сдвига выбирается из условия наилучшего восстановления данных при условии обнуления одного из частотных коэффициентов, причем на каждом периоде значение квази-периодической функции находятся адаптивно к входным данным на данном интервале.
В основе метода лежит следующее утверждение
Теорема А. Пусть \(\varphi\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\), тогда для произвольных \(\{h_m\}_{m=0}^{N-1}\) таких, что \(-\infty\lt h_m\lt \infty\), \(m=0,1,...,N-1\) обозначим \begin{equation}\label{2_1} H_k=\sum_{m=0}^{N-1}h_m\cos\left(\frac{2\pi m k}{N}-\varphi\right). \end{equation} Тогда имеет место равенство \begin{equation}\label{2_2} h_n=\frac{2}{N\sin(2\varphi)}\sum_{k=0}^{N-1}H_k\sin\left(\frac{2\pi m k}{N}+\varphi\right). \end{equation} Доказательство. Покажем, что все это действительно так. Подставим во второе соотношение значения \(H_k\) из первого равенства, тогда получим \[ \frac{2}{N\sin(2\varphi)}\sum_{k=0}^{N-1}\sum_{m=0}^{N-1}h_m\cos\left(\frac{2\pi m k}{N}-\varphi\right)\sin\left(\frac{2\pi m k}{N}+\varphi\right) =\frac{2}{N\sin(2\varphi)}\sum_{m=0}^{N-1}h_m\sum_{k=0}^{N-1}\cos\left(\frac{2\pi m k}{N}-\varphi\right)\sin\left(\frac{2\pi m k}{N}+\varphi\right) =\frac{1}{N\sin(2\varphi)}\sum_{m=0}^{N-1}h_m\sum_{k=0}^{N-1}\left(\sin\left(\frac{2\pi k(n+m)}{N}\right)+ \sin\left(\frac{2\pi k(n-m)}{N}+2\varphi\right)\right). \] Далее нам понадобится следующая формула ((Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г.Б.Двайт .— М: Наука, 1973 .— 228 с. ) стр. 82.) \begin{equation}\label{2_3} \sum_{\nu=0}^{N-1}\sin(\alpha+\nu\beta)=\frac{1}{\sin\frac{\beta}{2}}\sin\left(\alpha+\frac{N-1}{2}\beta\right)\sin\frac{N\beta}{2}. \end{equation} Пусть сначала, \(n+m\ne N\), тогда из (\ref{2_1}) получим, \[ \sum_{k=0}^{N-1}\sin\left(\frac{2\pi k(n+m)}{N}\right)=\frac{1}{\sin\left(\frac{2\pi (n+m)}{2N}\right)}\sin\left(\frac{2\pi (N-1)(n+m)}{2N}\right) \sin\left(\frac{2\pi N(n+m)}{2N}\right). \] Из условия \(n+m\ne N\) получаем \[ \sin\left(\frac{2\pi (n+m)}{N}\right)\ne 0, \]  а, с другой стороны, \[ \sin\left(\frac{2\pi N(n+m)}{2N}\right)=\sin(\pi(n+m))=0. \]  Таким образом, для \(n+m\ne N\) \[ \sum_{k=0}^{N-1}\sin\left(\frac{2\pi k(n+m)}{N}\right)=0. \] Если же \(n+m=N\), тогда \[ \sum_{k=0}^{N-1}\sin\left(\frac{2\pi k(n+m)}{N}\right)= \sum_{k=0}^{N-1}\sin\left(\frac{2\pi kN}{N}\right)= \sum_{k=0}^{N-1}\sin\left(2\pi k\right)=0. \] Таким образом, для всех \(n,m=0,...,N-1\) \[ \sum_{k=0}^{N-1}\sin\left(\frac{2\pi k(n+m)}{N}\right)=0. \] Рассмотрим теперь, \[ \sum_{k=0}^{N-1}\sin\left(\frac{2\pi k(n-m)}{N}+2\varphi\right). \] Используя (\ref{2_1}), имеем \[ \sum_{k=0}^{N-1}\sin\left(\frac{2\pi k(n-m)}{N}+2\varphi\right)=\frac{1}{\sin\left(\frac{2\pi (n-m)}{2N}\right)} \sin\left(\frac{2\pi (N-1)(n-m)}{2N}+2\varphi\right) \sin\left(\frac{2\pi N(n-m)}{2N}\right). \] Далее, отметим, что так как \(n,m=0,...,N-1\), то \(n-m\ne N\). Пусть теперь \(n\ne m\), тогда получается, что \[ \sin\left(\frac{\pi (n-m)}{N}\right)\ne 0, \] но, при этом \[ \sin\left(\frac{2\pi N(n-m)}{2N}\right)= \sin\left(\pi (n-m)\right)=0. \] для всех \(n,m=0,...,N-1\) и для \(n\ne m\), в том числе.
И наконец, пусть \(n=m\), тогда \[ \sum_{k=0}^{N-1}\sin\left(\frac{2\pi k(n-m)}{N}+2\varphi\right)= \sum_{k=0}^{N-1}\sin\left(0+2\varphi\right)=N\sin(2\varphi). \] Таким образом имеем \[ \sum_{k=0}^{N-1}\left(\sin\left(\frac{2\pi k(n+m)}{N}\right)+\sin\left(\frac{2\pi k(n-m)}{N}+2\varphi\right)\right)= \left\{ \begin{array}{ll} N\sin(2\varphi), & \hbox{ } n=m, \\ 0, & \hbox{ }n,m=0,1,...,N-1,n\ne m. \end{array} \right. \] Отсюда получим соотношение \[ \frac{1}{N\sin(2\varphi)}\sum_{m=0}^{N-1}h_m\sum_{k=0}^{N-1}\left(\sin\left(\frac{2\pi k(n+m)}{N}\right)+ \sin\left(\frac{2\pi k(n-m)}{N}+2\varphi\right)\right)= \left\{ \begin{array}{ll} h_n, & \hbox{ } n=m, \\ 0, & \hbox{ }n,m=0,1,...,N-1,n\ne m, \end{array} \right. \]  что и завершает доказательство теоремы.
Основной результат опирается на следующее утверждение.

Теорема. Для любых \(\{h_m\}_{m=0}^{N-1}\) таких, что \(-\infty\lt h_m\lt \infty\), \(m=0,1,...,N-1\) обозначим \[ H_k=\sum_{m=0}^{N-1}h_m\cos\left(\frac{2\pi m k}{N}-\varphi\right) \]  и \[ \varphi=\textrm{arctg}\frac{\sum_{m=0}^{N-1}h_m\cos\frac{2\pi m }{N}}{\sum_{m=0}^{N-1}h_m\sin\frac{2\pi m }{N}}. \] Тогда имеет место равенство  \begin{equation}\label{2_21} h_n=\frac{2}{N\sin(2\varphi)}\sum_{k=0}^{N-2}H_k\sin\left(\frac{2\pi m k}{N}+\varphi\right). \end{equation} Таким образом, количество слагаемых в (\ref{2_21}), отличие от (\ref{2_2}) сократилось за счет выбора угла \(\varphi\).

Доказательство. Из теоремы А получается, что для произвольного \(\varphi\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\) и \(n=0,1,...,N-1\) справедливо соотношение  \begin{equation}\label{2_4} h_n=\frac{2}{N\sin(2\varphi)}\sum_{k=0}^{N-1}\sum_{m=0}^{N-1}h_m\cos\left(\frac{2\pi m k}{N}-\varphi\right)\sin\left(\frac{2\pi m k}{N}+\varphi\right) \end{equation} Пусть \(H_{N-1}=0\), тогда, если угол \(\varphi\) такой, что соотношение (\ref{2_2}) восстанавливает все значения \(\{h_m\}_{m=0}^{N-1}\), то есть \[ h_n=\frac{2}{N\sin(2\varphi)}\sum_{k=0}^{N-2}H_k\sin\left(\frac{2\pi m k}{N}+\varphi\right), \] то это эквивалентно соотношению \[ h_n=\frac{2}{N\sin(2\varphi)}\left(\sum_{k=0}^{N-1}H_k\sin\left(\frac{2\pi m k}{N}+\varphi\right)- H_{N-1}\sin\left(\frac{2\pi m (N-1)}{N}+\varphi\right)\right), \] или, что то же, \[ h_n=\frac{2}{N\sin(2\varphi)}\sum_{k=0}^{N-1}\left(\sum_{m=0}^{N-1}h_m\cos\left(\frac{2\pi m k}{N}-\varphi\right)-\sum_{m=0}^{N-1}h_m\cos\left(\frac{2\pi m (N-1)}{N}-\varphi\right)\right) \sin\left(\frac{2\pi m k}{N}+\varphi\right)= \] \[ \frac{2}{N\sin(2\varphi)}\sum_{k=0}^{N-1}\left(\sum_{m=0}^{N-1}h_m\cos\left(\frac{2\pi m k}{N}-\varphi\right) \right)\sin\left(\frac{2\pi m k}{N}+\varphi\right) - \frac{2}{N\sin(2\varphi)}\sum_{k=0}^{N-1}\left(\sum_{m=0}^{N-1}h_m\cos\left(\frac{2\pi m (N-1)}{N}-\varphi\right) \right)\sin\left(\frac{2\pi m k}{N}+\varphi\right). \] Используя равенство (\ref{2_3}), получаем, что для всех \(n=0,1,...,N-1\) имеет место соотношение  \begin{equation}\label{2_5} \sum_{k=0}^{N-1}\left(\sum_{m=0}^{N-1}h_m\cos\left(\frac{2\pi m (N-1)}{N}-\varphi\right) \right)\sin\left(\frac{2\pi m k}{N}+\varphi\right)=0. \end{equation} Опять же, используя соотношение (\ref{2_3}), получим \[ \sum_{k=0}^{N-1}\sin\left(\frac{2\pi n k}{N}+\varphi\right)=\frac{1}{\sin\left(\frac{2\pi n}{2N}\right)} \sin\left(\frac{2\pi n (N-1)}{N}+\varphi\right)\sin\left(\frac{2\pi n N}{N}\right)= \] \[ \frac{1}{\sin\left(\frac{\pi n}{N}\right)} \sin\left(-\frac{2\pi n }{N}+\varphi\right)\sin\left(\pi n \right)= \left\{ \begin{array}{ll} 0, & \hbox{ }n\ne 0, \\ N\sin \varphi, & \hbox{ } n=0. \end{array} \right. \] Тогда соотношение (\ref{2_5}) можно записать в виде \[ \sum_{m=0}^{N-1}h_m\cos\left(\frac{2\pi m (N-1)}{N}-\varphi\right)\sin\varphi=0, \]  а так как \(\varphi\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\), то \(\sin\varphi\ne 0\) и, очевидно, что  \[ \sum_{m=0}^{N-1}h_m\cos\left(\frac{2\pi m (N-1)}{N}-\varphi\right)=0, \]  или, что то же  \[ \sum_{m=0}^{N-1}h_m\cos\left(\frac{2\pi m }{N}+\varphi\right)= \sum_{m=0}^{N-1}h_m\left(\cos\frac{2\pi m }{N}\cos\varphi-\sin\frac{2\pi m }{N}\sin\varphi\right)=0. \]  Отсюда получаем \[ \sum_{m=0}^{N-1}h_m\left(\cos\frac{2\pi m }{N}-\sin\frac{2\pi m }{N}\textrm{tg}\varphi\right)=0. \] таким образом, \[ \sum_{m=0}^{N-1}h_m\cos\frac{2\pi m }{N}=\textrm{tg}\varphi\sum_{m=0}^{N-1}h_m\sin\frac{2\pi m }{N} \] и \[ \textrm{tg}\varphi=\frac{\sum_{m=0}^{N-1}h_m\cos\frac{2\pi m }{N}}{\sum_{m=0}^{N-1}h_m\sin\frac{2\pi m }{N}}. \] Наконец, получаем значение угла, при котором будут точно восстановлении все \(\{h_m\}_{m=0}^{N-1}\), при условии, что \(H_{N-1}=0\)  \[ \varphi=\textrm{arctg}\frac{\sum_{m=0}^{N-1}h_m\cos\frac{2\pi m }{N}}{\sum_{m=0}^{N-1}h_m\sin\frac{2\pi m }{N}}. \] Используем полученный результат для фильтрации периодических данных. Пусть имеется псевдо-периодический сигнал с неизвестным периодом, необходимо найти период.

 
Спектрограмма разрыва почвенного пласта при оползне (г.Каменское) представляет собой временной ряд с почти-периодической составляющей.

Для множества данных \(y_t (t=0,1,...,T-1)\) выберем число \(N\ll T\), тогда пусть \(K=[T/N]\) (где [•] - целая часть числа).
Найдем множество углов \(\{\varphi_{i,N}\}_{i=0}^{K-1}\) таких, что  \[ \varphi_{i,N}=\textrm{arctg}\frac{\sum_{m=0}^{N-1}y_{m+iN}\cos\frac{2\pi m }{N}}{\sum_{m=0}^{N-1}y_{m+iN}\sin\frac{2\pi m }{N}} (i=0,1,...,K-1). \] Тогда \(\bar{\varphi}=\frac{1}{K}\sum_{i=0}^{K-1}\varphi_{i,N}\)- среднее значение множества углов \(\{\varphi_{i,N}\}_{i=0}^{K-1}\), а \(\sigma^2_N=\frac{1}{K}\sum_{i=0}^{K-1}\left(\varphi_{i,N}-\bar{\varphi}\right)^2\)- значение дисперсии (мера отклонения значений случайной величины от центра распределения).
Таким образом, значение \(\bar{N}\), для которого выполняется соотношение \(\min_N\sigma^2_N=\sigma^2_{\bar{N}}\) будет отвечать наиболее вероятному периода сигнала, значение которого будет соответствовать \[ \frac{2}{\bar{N}\sin(2\bar{\varphi})}\sum_{k=0}^{\bar{N}-2}\sum_{m=0}^{\bar{N}-1}y_{m+i\bar{N}}\cos\left(\frac{2\pi m k}{\bar{N}}- \bar{\varphi}\right)\sin\left(\frac{2\pi m k}{\bar{N}}+\bar{\varphi}\right) (i=0,1,...,\bar{K}-1), \] где \(\bar{K}=[T/\bar{N}]\).

Задача 1.

Используя приведенные ранее данные по среднемесячной температуре в Киеве, найти прогноз на ноябрь и декабрь 2018 года. Выбрать наиболее адекватную модель предсказания.

Задача 2.

Отфильтровать периодические данные на приведенной выше спектрограмме разрыва почвенного пласта при оползне (г.Каменское).

Задача 3.

Динамика цен на основные биржевые товары молочного рынка, в долларах США за тонну. Здесь SMP - сухое обезжиренное молоко, WMP - цельное сухое молоко.

Проанализировать временной ряд и сделать прогноз на будущее.

Задача 4.

Динамика индекса условной доходности молока в Украине.

Проанализировать временной ряд и сделать прогноз на 2018 год.

Задача 5.

Динамика цен на топливо в Украине (данные в формате JSON).

Проанализировать временные ряды и сделать прогноз на 2019 год.