Wavelets

Всплески (wavelets) появились в начале 1980-х годов на стыке теории функций, функционального анализа, обработки сигналов и изображений, квантовой теории поля. Развитие теории всплесков связано с именами А. Гроссмана, Ж. Морлета, Ж. Стремберга, Я. Мейера, С. Малла, И. Добеши и многих др.
Подобно анализу Фурье теория всплесков находит применение в исследовании частотных характеристик функции \(f\) с помощью всплеск-преобразования. При описании функций с конечным носителем, сигналов с меняющимися во времени частотами с помощью анализа Фурье возникают трудности, которые объясняются свойствами тригонометрических функций на оси \(R\). Например, преобразование Фурье функции \(f\) в случае \(\delta\)-функции Дирака, имеющей в качестве носителя единственную точку, вырождается в функцию \(\widehat{\delta}(\omega)=1\), распространенную на всю числовую ось. При обработке сигналов с меняющимися частотами анализ Фурье не позволяет выделить частоты, составляющие сигнал в окрестности произвольного момента времени. Аппарат всплесков позволяет автоматически осуществлять локализацию как по времени, так и в частотной области.
Функция \(\psi(x)\) называется всплеском (вейвлетом), а функция \(\varphi(x)\)- масштабирующей (скэлинг) функцией.
На рисунке приведена биортогональная пара масштабирующих функций
и соответствующих всплесковых функций
Следуя теореме 2, прямой ход быстрого всплеск -преобразования массива \(F=\{f_i\}\) в точке \(2i\) дает свертка массива с фильтром \[ a_{-1}=\frac{\sqrt{2}}{4},a_0=\frac{\sqrt{2}}{2},a_1=\frac{\sqrt{2}}{4}, \] в точке \(2i+1\) c фильтром \[ b_{-2}=-\frac{\sqrt{2}}{8}, b_{-1}=-\frac{\sqrt{2}}{4},b_0=\frac{3\sqrt{2}}{4},b_1=-\frac{\sqrt{2}}{4},b_2=-\frac{\sqrt{2}}{8}, \] то есть \[ \widehat{f}_{2i}=\frac{\sqrt{2}}{4}\left({f}_{2i-1}+2{f}_{2i}+{f}_{2i+1}\right), \] \[ \widehat{f}_{2i+1}=-\frac{\sqrt{2}}{8}\left({f}_{2i-1}+2{f}_{2i}-6{f}_{2i+1}+2{f}_{2i+2}+{f}_{2i+3}\right). \] Обратное всплеск-преобразование в точке \(2i\) дает свертка массива всплеск-преобразования с фильтром \[ u_{-2}=-\frac{\sqrt{2}}{8}, u_{-1}=-\frac{\sqrt{2}}{4},u_0=\frac{3\sqrt{2}}{4},u_1=-\frac{\sqrt{2}}{4},u_2=-\frac{\sqrt{2}}{8}, \] в точке \(2i+1\) c фильтром \[ v_{-1}=\frac{\sqrt{2}}{4},v_0=\frac{\sqrt{2}}{2},v_1=\frac{\sqrt{2}}{4}, \] то есть \[ {f}_{2i}=-\frac{\sqrt{2}}{8}\left(\widehat{f}_{2i-2}+2\widehat{f}_{2i-1}-6\widehat{f}_{2i}+ 2\widehat{f}_{2i+1}+\widehat{f}_{2i+1}\right), \] \[ {f}_{2i+1}=\frac{\sqrt{2}}{4}\left(\widehat{f}_{2i}+2\widehat{f}_{2i+1}\widehat{f}_{2i+2}\right). \] Модернизируя описанную технологию несложно получить самые различные биортогональные пары.
Приведем одну из наиболее популярных симметричных биортогональных пар всплесков Добеши - 7-9 \[ a_{0}=0.78848561640566, a_{1}=a_{-1}=0.41809227322221, \] \[ a_{2}=a_{-2}=-0.04068941760956, a_{3}=a_{-3}=-0.06453888262894, \] и \[ b_{0}=0.85269867900940, b_{1}=b_{-1}=0.37740285561265 , \] \[ b_{2}=b_{-2}=-0.11062440441842, b_{3}=b_{-3}=-0.02384946501938, b_{4}=b_{-4}=0.03782845550700. \]
Для построения несепарабельных всплесков необходимо иметь множество двумерных масштабирующих функций. В частности, для этой цели можно использовать базисные функции subdivision.
В качестве примера рассмотрим базисную функцию subdivision интерполяционного в среднем, образованного функционалом, полученного в следующей работе. Эта функция обладает свойством масштабирования и, следовательно, порождает ортогональный базис. График ортогональной масштабирующей функции \(\widetilde{\varphi}(x,y)\) имеет вид

Масштабирующая функция \(\widetilde{\varphi}(x,y)\)

Всплеск \(\widetilde{\psi}^1(x,y)\)

Всплеск \(\widetilde{\psi}^2(x,y)\)
и, наконец,

Всплеск \(\widetilde{\psi}^3(x,y)\)
Построение биортогональной масштабирующей функции к полуортогональной с использованием соотношений аналогичных (\ref{w.36.1}) не всегда конструктивно. Прежде всего это связано с корректным построением соответствующего полинома Эйлера-Фробениуса для случая двух переменных. Кроме того, так или иначе полученная функция имеет неограниченный носитель, что требует усечения носителя биортогональной функции при ее практическом использовании. Без доказательства приведем итерационный метод конструирования биортогональной функции к имеющейся полуортогональной.
Для матриц \(A\) и \(B\) положим \[ A\otimes B=\sum_{\nu,\mu}a_{\nu,\mu}b_{\nu-2i,\mu-2j} \] и \(A^n=A^{n-1}\otimes A\).
Пусть \(E\) двумерный массив, у которого элементы \(e_{0,0},\) \(e_{1,0},\) \(e_{0,1},\) \(e_{1,1}\) равны единице, а остальные равны нулю и \(A\) масштабирующая функция, полученная, например, из базисной функции интерполяционного в среднем метода subdivision.
Тогда, если \[ A^{\perp,n}=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1} C_n^k A^{k-1}\otimes E, \] то \(A^{\perp}=\lim_{n\to\infty}A^{\perp,n}\) есть биортогогальная масштабирующая функция к \(A\).

Приложение.

На основе несепарабельных всплесков был разработан метод сжатия, позволяющий при одинаковой степени сжатия получать более качественные изображения, чем JPEG2000.
Приведем сравнительные данные для одинаковой степени сжатия формата QCIF кодеком JPEG2000 и кодеком, постороенным на использовании несепарабельных всплесков.
ИзображениеСжатиеPSNR
JPEG2000Nonsep
Foreman-2029,127.6229.94
Foreman-9026,726.6428.85
Horse-0034.2628.8629.99
Ниже приведены оригиналы изображения, изображение полученное в результате применения JPEG2000 и соответственно, кодека построенного на использовании несепарабельного базиса всплесков.

Foreman-20

Foreman-90

Horse-00

Полезная литература. Книги.

  1. Подборка литературы по всплескам от В.Грибунина
  2. Addison P.S. The Illustreted Wavelet Transform Handbook. Introductory Theory and Application in Science, Engineering, Medicine and Finance / P.S.Addison .— Philadelphia: IoP, 2002 .— 362 p.
  3. Wavelets and their Applications in Computer Graphics .— SIGGRAPH ’95 Course Notes, 1995 .— 239 p.
  4. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории / К.Блаттер .— М: Техносфера, 2004 .— 280 с.
  5. Воскобойников Ю.Е. Фильтрации сигналов и изображений: фурье и вейвлет алгоритмы (с примерами в Mathcad) : монография / Ю. Е. Воскобойников, А. В. Гочаков, А. Б. Колкер ; Новосиб. гос. архитектур.-строит. ун-т (Сибстрин). – Новосибирск : НГАСУ (Сибстрин), 2010. – 188 с.
  6. Демьянович Ю.К. Введение в теорию вэйвлетов. Курс лекций / Ю.К.Демьянович, В.А.Ходаковский .— СП-б: Петербургский государственный университет путей сообщения, 2007 .— 49 с.
  7. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам / И.Добеши .— Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001.— 464 с.
  8. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов / С.Шалла .— М.: Мир, 2005 .— 671 с.
  9. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков / А.П.Петухов .— СПб: Издательство СПбГТУ, 1999 .— 132 с.
  10. Поликар И. Введение в вейвлет-преобразование / И.Поликар .— СПб.: АВТЭКС.— 59 с.
  11. Новиков Л.В. Основы вейвлет анализа сигналов. Учебное пособие / Л.В.Новиков .— СПб: МОДУС+, 1999 .— 154 с.
  12. Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB / Н.К.Смоленцев .— М: ДМК, 2014 .— 628 с.
  13. Столниц Э. Вейвлеты в компьютерной графике / Э.Столниц, Т.ДеРоуз, Д.Салезин .— Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2002.— 272 с.
  14. Фрейзер М. Введение в вэйвлеты в свете линейной алгебры / М.Фрейзер .— М.: Бином, 2008 .— 487 с.
  15. Чуи Ч. Введение в вэйвлеты / Ч.Чуи .— М: Мир, 2001 .— 412 с.
  16. Уэлстид С. Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений / С.Уэлстид .— М.: Триумф, 2003 .— 320 с.
  17. Юдин М.Н. Введение в вейвлет-анализ: Учеб.-практическое пособие / М.Н.Юдин, Ю.Фарков, Д.М.Филатов .— М: Моск. геологоразв. акад., 2001 .— 72 с.
  18. Яковлев А.Н. Введение в вейвлет-преобразования: Учеб. пособие. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. – 104 с.

Полезная литература. Статьи.

  1. An interpolant defined on periodic data: analysis of the error / A.Ligun, S.Timchenko, A.Shumeiko, S.DeMarchi // Journal of Comp. and Appl. Mathematics .— 2002 .— №145 .— P.71-88.
  2. DeVore R. Wavelets / R.DeVore, B.Lucier // Acta Numerica .— 1992 .— №1 .— P.1-56.
  3. Ligun A. Linear method of recovery of function of two variables on a binary lamination / A.Ligun, A.Shumeiko // .East Journal of Approximation .— 2001 .— №3(7) .— P.1-18.
  4. Rioul O. Waveleta and Signal Processing / O.Rioul, M.Vetterli // IEEE Magazine .— 1991 .— P.14-28.
  5. Shapiro J.M. Embedded image coding using zertrees of wavelet coefficients / J.M.Shapiro // IEEE Trans.on Signal Processing. .— 1993 .— №12(41) .— P.3445-3462.
  6. Sweldens W. Building Your Own Wavelets at Home / W.Sweldens, P.Schröder // ACM Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques SIGGRAPH'96 : reprinted by permission of the authors, 1996 .— P.17-87.
  7. Sweldens W. The Lifting Scheme: A Construction of Second Generation Wavelets / W.Sweldens // SIAM J. Math. Anal. .— 1998 .— №29(2) .— P.511–546.
  8. Unser M. Fast Implementation of the Continuous Wavelet Transform with Integer Scales / M.Unser, A.Aldroubi, S.Schiff // IEEE Transactions on signal processing .— 1994 .— №12(42) .— P.3519-3523.
  9. Unser М. Splines and Wavelets: New Perspectives for Pattern Recognition / М.Unser // Joint Pattern Recognition Symposium. DAGM 2003 .— 2003 .— P.244-248.
  10. Wavelet Transforms That Map Integers to Integers / A.R.Calderbank, I.Daubechies, W.Sweldens, Boon-Lock Yeo // Applied and Computational Harmonic Analysis .— 1998 .— №5 .— P.332-369.
  11. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения / Н.М.Астафьева // Успехи физических наук .— 1996 .— №11(166) .— C.1145-1170.
  12. Бабенко В.Ф. Об одном методе построения несепарабельных всплесков / В.Ф.Бабенко, А.А.Лигун, А.А.Шумейко // Математичне моделювання .— 2007 .— №2 (17) .— C.35-40.
  13. Бабенко В.Ф. Быстрый алгоритм биортогонального дискретного всплеск-преобразования / В.Ф.Бабенко, А.А.Лигун, А.А.Шумейко // Математичне моделювання .— 2007 .— №1(16) .— C.18-21.
  14. Дремин И.М. Вейвлеты и их использование / И.М.Дремин, О.В.Иванов, В.А.Нечитайло // Успехи физических наук .— 2001 .— №5(171) .— C.465-501.
  15. Лигун А.А. Линейный метод восстановления функций, основанный на бинарном пополнении данных / А.А.Лигун, А.А.Шумейко // Украинский математический журнал .— 2001 .— №11(52) .— C.1501-1512.
  16. Новиков И.Я. Основы теории всплесков / И.Я.Новиков, С.Б.Стечкин // УМН .— 1998 .— 53:6(324) .— C.1159–1231.