Spline

Линейные методы аппроксимации сплайнами.

Сплайном порядка \(r\) дефекта \(k\) по произвольному разбиению \(\Delta_n=\left\{a=t_{0,n}\lt t_{1,n}\lt \ldots \lt t_{n-1,n}\lt t_{n,n}=b\right\} \) отрезка \([a,b]\) называется \((r-k)\) - раз непрерывно дифференцируемая на отрезке \([a,b]\) функция \(s_{r,k}(\Delta_n,t)\), которая на каждом промежутке \((t_{i-1,n},t_{i,n})\,\,(i=0,1,\ldots,n)\) является алгебраическим многочленом степени не выше \(r\).
Наиболее популярными как в математике, так и в ее приложениях, являются сплайны минимального дефекта, т.е. сплайны \(s_{r,k}(\Delta_n,t)\) при \(k=1\). При этом практические потребности более чем на 90% удовлетворяются сплайнами второго и третьего порядков.
Сплайны - сравнительно молодой аппарат теории приближений. Их широкое использование стало возможным при появлении и развитии вычислительной техники. В этих условиях в полной мере проявились их достоинства. Вскоре сфера их использования охватила, практически, все области, где применялись вычислительные методы - теория аппроксимации, численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений, теория управления, математическая статистика и многие другие.
В дальнейшем отрезок \([a,b]\) будем считать фиксированным и все множества функций, встречающиеся в тексте, если об этом не оговорено особо, будем считать заданными на этом отрезке.
Рассмотрим некоторые характеристики разбиения \(\Delta_n\), которые понадобятся нам в дальнейшем. Так, через \(t_{i+1/2,n}\) обозначим середину отрезка \([t_{i,n},t_{i+1,n}]\) \begin{equation}\label{1.2} t_{i+1/2,n}=t_{i,n}+h_{i+1/2,n}/2, (i=0,2,\ldots,n-1), \end{equation} \begin{equation}\label{1.3} h_{i+1/2,n}=t_{i+1,n}-t_{i,n}, (i=0,2,\ldots,n-1) - \end{equation} длина промежутка \([t_{i,n},t_{i+1,n}]\). Далее, \begin{equation}\label{1.4} \mu_{i,n}=\frac{h_{i-1/2,n}}{h_{i+1/2,n}+h_{i-1/2,n}},\lambda_{i,n}=1-\mu_{i,n}, \end{equation} и для \(t\in[t_{i,n},t_{i+1,n}]\) положим \begin{equation}\label{1.5} \tau=\frac{1}{h_{i+1/2,n}}(t-t_{i,n}), \end{equation} Кроме того, если \(x\in C,\) то положим \begin{equation}\label{1.6} x_{i,n}=x(t_{i,n}),x_{i+1/2,n}=x(t_{i+1/2,n}), \end{equation} а если \(x\in C^1,\) то \begin{equation}\label{1.7} {x'}_{i,n}={x'}(t_{i,n}). \end{equation} Через \(S_{r,k}(\Delta_n)\) обозначим множество всех полиномиальных сплайнов порядка \(r\) дефекта \(k (1\le k \le r)\) по разбиению \(\Delta_n\), то есть множество всех функций \(s\in C^{r-k}\), совпадающих на каждом из интервалов \((t_{i,n},t_{i+1,n})\) с алгебраическим многочленом степени не выше \(r\). Наиболее часто на практике используют сплайны минимального дефекта, то есть дефекта 1. Можно показать (см., например, [11] с. 17), что \(S_{r,k}(\Delta_n)\) есть пространство функций вида \[ s(t)=\sum_{i=0}^ra_it^i+\sum_{i=1}^{n-1}b_i(t-t_{i,n})^r_+. \] Кроме того, \(S_{r,1}(\Delta_n)\) есть множество всех \(r\)-х интегралов от функций из множества \(S_{0,1}(\Delta_n)\), то есть, каждый сплайн из \(S_{r,1}(\Delta_n)\) можно представить в виде \[ s(t)=\int_a^b(t-u)^{r+1}_+\chi (u)du +\sum_{i=0}^rb_it^i, \] где \(\chi(u)\) фкнкция, постоянная на каждом интервале \((t_{i,n},t_{i+1,n})\) и \(b_i\in R_1\), т.е. сплайн из \(S_{0,1}(\Delta_n)\), где \(z^r_+\) усеченная степенная функция \[ z^r_+=\cases{z^r,(z>0),\cr 0,(z\le 0).} \] Рассмотрим линейные методы аппроксимации сплайнами, рассмотренные далее.
Самый простой из них - интерполяционные сплайны минимального дефекта порядка 1, то есть ломаная с узлами в точках \(t_{i,n}\) и интерполирующая функцию \(x(t)\) в узлах. На каждом отрезке \([t_{i,n},t_{i+1,n}]\) интерполяционная ломаная имеет вид \begin{equation}\label{1.8} s_1(x,\Delta_n,t)=x_{i,n}(1-\tau)+{x}_{i+1,n}\tau. \end{equation} На практике широко применяются так называемые локальные сплайны, то есть, сплайны, которые на каждом промежутке \([t_{i-1,n},t_{i,n}]\) определяются через значения функции в конечном числе точек \(k (k\lt n)\), не зависящем от \(n\). Характерным представителем таких сплайнов являются эрмитовые сплайны, которые задаются на каждом отрезке независимо от остальных. Такие сплайны мы будем обозначать через \(P_r(\cdot,\Delta_n)\). Наиболее простым эрмитовым сплайном является интерполяционная ломаная, то есть \[ P_1(x,\Delta_n,t)=s_1(x,\Delta_n,t). \] Рассмотрим эрмитов сплайн второго порядка \(P_2(x,\Delta_n)\in S_{2,2}(\Delta_n)\), интерполирующий функцию \(x\) в точках \(t_{i,n} (i=0,1,...,n)\) и \(t_{i+1/2,n} (0,1,\ldots,n-1)\): \[ P_2(x,\Delta_n,t_{i,n})=x_{i,n} (i=0,1,\ldots,n), P_2(x,\Delta_n,t_{i+1/2,n})=x_{i+1/2,n} (i=0,1,\ldots,n-1). \] Ясно, что на промежутке \([t_{i-1,n},t_{i,n}]\) сплайн \(P_2(x,\Delta_n)\) совпадает с параболой, \[ P_2(x,\Delta_n,t)=x_{i-1,n}\frac{(t_{i,n}-t)(t_{i-1/2,n}-t)}{(t_{i,n}-t_{i-1,n})(t_{i-1/2,n}-t_{i-1,n})}+ x_{i-1/2,n}\frac{(t_{i,n}-t)(t_{i-1,n}-t)}{(t_{i,n}-t_{i-1/2,n})(t_{i-1,n}-t_{i-1/2,n})}+ x_{i,n}\frac{(t_{i-1,n}-t)(t_{i-1/2,n}-t)}{(t_{i-1,n}-t_{i,n})(t_{i-1/2,n}-t_{i,n})}, \] заменяя \( \tau=\frac{t-t_{i-1,n}}{h_{i-1/2,n}}, \) получаем \begin{equation}\label{1.9} P_2(x,\Delta_n,t)=2x_{i-1,n}(1-\tau)\left(\frac{1}{2}-\tau\right)+4x_{i-1/2,n}\tau (1-\tau)+2x_{i,n}\tau\left(\tau-\frac{1}{2}\right). \end{equation} И, наконец, введем кубические эрмитовые сплайны. Сплайн \(P_3(x,\Delta_n)\in S_{3,2}(\Delta_n)\) называется эрмитовым, если он интерполирует значение функции и ее производной в узлах \(t_{i,n} (i=0,1,...,n)\): \begin{equation}\label{1.10} P^{(\nu)}_3(x,\Delta_n,t_{i,n})=x^{(\nu)}_{i,n} (i=0,1,\ldots,n;\nu=0,1). \end{equation} Для \(t\in [t_{i-1,n},t_{i,n}]\) эрмитов кубический сплайн можно записать в виде \begin{equation}\label{1.11} P_3(x,\Delta_n,t)=x_{i-1,n}(1-\tau)^2(1+2\tau)+x_{i,n}\tau^2(3-2\tau)+ h_{i-1/2,n}x'_{i-1,n}(1-\tau)^2\tau+h_{i-1/2,n}x'_{i,n}(\tau-1)\tau^2. \end{equation} Из курса высшей алгебры известно, что если система линейных уравнений имеет решение при любой правой части, то ее решение для каждой конкретной правой части единственно. В нашем случае это утверждение можно перефразировать несколько иначе - если количество условий и параметров линейного метода совпадают и можно привести явный вид метода, то он будет единствен.
Таким образом, если кубическая парабола (\ref{1.11}) имеет четыре условия (\ref{1.10}) и четыре параметра, то вид (\ref{1.11}) эрмитового кубического сплайна будет единственным.
Отметим, что при своих преимуществах (высокая точность решения, локальность и простота) эрмитовы сплайны имеют определенные недостатки - малая гладкость, необходимость вычисления производных в узлах. От вычисления производных можно отказаться, заменяя их формулами приближенного вычисления производной, что ведет к сплайнам типа Рябенького.
Построим \(R_3(x,\Delta_n)\) по методу Рябенького, что есть \(R_3(x,\Delta_n)\in S_{3,2}(\Delta_n)\) и \begin{equation}\label{1.12} R_3(x,\Delta_n,t_{i,n})=x_{i,n}, R'_3(x,\Delta_n,t_{i,n})=\tilde{x}'_{i,n}, (i=0,1,\ldots,n), \end{equation} где \begin{equation}\label{1.13} \tilde{x}'_{i,n}=\lambda_{i,n}h^{-1}_{i-1/2,n}(x_{i,n}-x_{i-1,n})+mu_{i,n}h^{-1}_{i+1/2,n}(x_{i+1,n}-x_{i,n}) \end{equation} и \[ h_{-1/2,n}=h_{1/2,n},h_{n+1/2,n}=h_{n-1/2,n}, t_{-1,n}=a-t_{1,n},t_{n+1,n}=b+h_{n-1/2,n}, \] \[ x_{-1,n}=\alpha_0(t_{-1,n}),x_{n+1,n}=\alpha_{n-3}(t_{n+1,n}), \] где \[ \alpha_{i}(t)=\sum_{j=0}^{i+3}\frac{\sum_{k=i}^{i+3}(t-t_{k,n})x_{j,n}}{(t-t_{j,n})\left(\prod_{k=i}^{i+3}(t_{j,n}-t_{k,n})\right)'}. \] Другой путь устранения этих недостатков ведет к интерполяционным сплайнам минимального дефекта. Интерполяционные сплайны, не являясь локальными, достаточно близки в каком-то смысле, к ним и не требует вычисления производной в точках.
Сплайн \(s_r(x,\Delta_n)\in S_{r,1}(\Delta_n)\) (то есть сплайн порядка \(r\) минимального дефекта по разбиению \(\Delta_n\)) называется интерполяционным/ если он таков, что при четных \(r\) \[ s_r(x,\Delta_n,t_{i+1/2,n})=x_{i+1/2,n} (i=0,1,\ldots,n-1), \] и выполняются граничные условия \begin{equation}\label{1.14} s_r^{(\nu)}(x,\Delta_n,i)=x^{(\nu)}(i) (i=a,b;\nu=0,1,\ldots,(r-2)/2), \end{equation} или периодические граничные условия \begin{equation}\label{1.15} s_r^{(\nu)}(x,\Delta_n,a)=s_r^{(\nu)}(x,\Delta_n,b) (\nu=0,1,\ldots,r-1), \end{equation} и при нечетных \(r\) он таков, что \[ s_r(x,\Delta_n,t_{i,n})=x_{i,n} (i=0,1,\ldots,n), \] и выполняются граничные условия \begin{equation}\label{1.16} s_r^{(\nu)}(x,\Delta_n,i)=x^{(\nu)}(i) (i=a,b;\nu=0,1,\ldots,(r-1)/2), \end{equation} или периодические граничные условия \begin{equation}\label{1.17} s_r^{(\nu)}(x,\Delta_n,a)=s_r^{(\nu)}(x,\Delta_n,b) (\nu=0,1,\ldots,r-1). \end{equation} Особый интерес для практических задач имеют интерполяционные сплайны минимального дефекта порядка 2 и 3.
Для доказательства существования и единственности нам понадобится следующая лемма, доказываемая в теории матриц.

Лемма (Адамар). Пусть система \begin{equation}\label{1.18} \sum_{j=0}^na_{i,j}z_j=d_i (i=0,1,\ldots,n) \end{equation} такова, что \( \left|a_{i,i}-\sum_{i\ne j}|a_{i,j}|\right|=r_i>0 (i,j=0,\ldots,n), \) то есть матрица \(A\) системы (\ref{1.18}) имеет диагональное преобладание, тогда \begin{equation}\label{1.19} \|A^{-1}\|\le\max_{i}\frac{1}{r_i}, \end{equation} кроме того, система (\ref{1.18}) имеет единственное решение \(z^*_j\) и \begin{equation}\label{1.20} |z^*_j|\le\max_{i}\|A^{-1}\|d_i. \end{equation}

Теорема 1.
Пусть \(x\in C\), тогда для любого разбиения \(\Delta_n\) сплайн \(s_2(x,\Delta_n)\) существует и единствен. Если \(x\in C\) такова, что существует \(x'(a)\) и \(x'(b)\), то сплайн \(s_3(x,\Delta_n)\) существует и единствен.

Доказательство теоремы для граничных условий (\ref{1.14}),(\ref{1.16}) и (\ref{1.15}),(\ref{1.17}) аналогично, поэтому доказательство теоремы приведем для условий (\ref{1.14}), (\ref{1.16}).
Как было указано ранее, парабола, интерполирующая функцию \(x\) в узлах \(t_{i-1,n}\), \(t_{i,n}\) и \(t_{i-1/2,n}\) для \(t\in [t_{i-1,n},t_{i,n}]\) можно записать в явном виде (\ref{1.9}). Следовательно, если \(m_{i,n}\) есть значение интерполяционного сплайна \(s_2(x,\Delta_n,t)\) в точке \(t_{i,n}\), то на промежутке \([t_{i-1,n},t_{i,n}]\) этот сплайн может быть записан в виде \begin{equation}\label{1.21} s_2(x,\Delta_n,t)=2m_{i-1,n}(1-\tau)\left(\frac{1}{2}-\tau\right)+4x_{i-1/2,n}\tau (1-\tau)+2m_{i,n}\tau\left(\tau-\frac{1}{2}\right), \end{equation} где \(m_{i,n}\) однозначно определяются из условия непрерывности производной сплайна и граничных условий, то есть из системы \begin{equation}\label{1.22} \cases{ m_{0,n}=x_{0,n},\cr s'_2(x,\Delta_n,t_{i,n}-0)-s'_2(x,\Delta_n,t_{i,n}+0)=0, (i=1,\ldots,n-1),\cr m_{n,n}=x_{n,n}, } \end{equation} а так как \[ s'_2(x,\Delta_n,t)=\left(m_{i-1,n}(4\tau-3)+x_{i-1/2,n}(4-8\tau)+2m_{i,n}(4\tau-1)\right)/h_{i-1/2,n}, \] то \[ s'_2(x,\Delta_n,t_{i,n}+0)=\left(-m_{i-1,n}+4x_{i-1/2,n}-3m_{i,n}\right)/h_{i-1/2,n}, \] и \[ s'_2(x,\Delta_n,t_{i,n}-0)=\left(m_{i-1,n}-4x_{i-1/2,n}+3m_{i,n}\right)/h_{i-1/2,n}, \] следовательно, систему (\ref{1.22}) можно записать в виде \[ \cases{ m_{0,n}=x_{0,n},\cr h_{i+1/2,n}m_{i-1,n}+3(h_{i+1/2,n}+h_{i-1/2,n})m_{i,n}+h_{i-1/2,n}m_{i+1,n}= 4h_{i-1/2,n}x_{i+1/2,n}+4h_{i+1/2,n}x_{i-1/2,n} , (i=1,\ldots,n-1),\cr m_{n,n}=x_{n,n}, } \] или, что то же \begin{equation}\label{1.23} \cases{ m_{0,n}=x_{0,n},\cr \lambda_{i,n}m_{i-1,n}+3m_{i,n}+\mu_{i,n}m_{i+1,n}= 4\mu_{i,n}x_{i+1/2,n}+4\lambda_{i,n}x_{i-1/2,n} , (i=1,\ldots,n-1),\cr m_{n,n}=x_{n,n}. } \end{equation} Из высшей алгебры (правило Крамера) известно, что для того, чтобы система имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы главный определитель системы был отличен от нуля, или, что то же, чтобы норма обратной матрицы была ограничена.
Легко видеть, что диагональное преобладание матрицы системы (\ref{1.23}) будет равно 2, то есть \( 3-(\mu_{i,n}+\lambda_{i,n})=2. \) Тогда норма обратной матрицы, как следует из леммы Адамара, ограничена числом \(1/2\). Отсюда следует, что решение этой системы существует и единственно, что и доказывает теорему для параболических сплайнов.
Пусть теперь \(r=3\). Тогда, как было указано ранее, кубический полином, интерполирующий дважды функцию \(x\) в узлах \(t_{i-1,n}\) и \(t_{i,n}\) (кубический эрмитов сплайн, можно записать в виде (\ref{1.11})). Следовательно, если \(m_{i,n}\) есть значение интерполяционного сплайна \(s_3(x,\Delta_n,t)\) в точке \(t_{i,n}\), то на промежутке \([t_{i-1,n},t_{i,n}]\) этот сплайн может быть записан в виде \begin{equation}\label{1.24} s_3(x,\Delta_n,t)=x_{i-1,n}(1-\tau)^2(1+2\tau)+x_{i,n}\tau^2(3-2\tau)+h_{i-1/2,n}m_{i-1,n}(1-\tau)^2\tau+h_{i-1/2,n}m_{i,n}(\tau-1)\tau^2. \end{equation} Здесь \(m_{i,n}\) однозначно определяются из условий непрерывности второй производной сплайна и граничных условий, то есть из системы \begin{equation}\label{1.25} \cases{ m_{0,n}=x'_{0,n},\cr \lambda_{i,n}m_{i-1,n}+2m_{i,n}+\mu_{i,n}m_{i+1,n}= 3\left(\mu_{i,n}\frac{x_{i+1,n}-x_{i,n}}{h_{i+1/2,n}}+\lambda_{i,n}\frac{x_{i,n}-x_{i-1,n}}{h_{i-1/2,n}}\right) , (i=1,\ldots,n-1),\cr m_{n,n}=x'_{n,n}. } \end{equation} Из диагонального преобладания матрицы этой системы и леммы Адамара следует ограниченность нормы обратной матрицы, а вместе с тем, существование и единственность сплайна \(s_3(x,\Delta_n)\).

Сплайны по равномерной сетке. В-сплайны.

У сплайнов с равноотстоящими узлами самое большое преимущество - простота конструкции (хотя это не совсем правда - при использовании приближения классов функций, они являются наилучшим аппроксимативным аппаратом). Но в случае описания конкретной функции или кривой сплайны по равномерному разбиению не всегда хороши, ясно, что адаптивные методы всегда дают лучший результат. Поэтому оптимизация узлов сплайнов всегда приводит, при одних и тех же затратах, к лучшему результату. Можно эту задачу решить ну как то так. А можно сделать, как говорится, по уму, примерно так, как это изложено в следующем разделе.
В заключение приведем еще одно утверждение.

Теорема A.
Пусть \(r=2,3\), \(p\in [1,\infty], \alpha=(r+1+p^{-1}-\nu)^{-1}\) и \(\nu=0,...,r\). Тогда для любой функции \(x\in L^{r+1}_\infty\) такой, что \(|x^{(r+1)}|(t)>0 (t\in [a,b])\) при \(n\to\infty\) последовательность разбиений \(\left\{\Delta^*_n\right\}_{n=1}^\infty=\left\{\left\{t^*_{i,n}\right\}_{i=0}^n\right\}_{n=1}^\infty\), определяемая из равенств \[ \int_a^{t^*_{i,n}}|z_n(t)|^\alpha dt=\frac{i}{n}\int_a^b\left|z_n(t)\right|^\alpha dt (i=0,\ldots,n), \] где \(z_n(t)\)- любая последовательность функций, такая, что \(\left|z_n-x^{(r+1)}\right|_\infty \to 0\) будет асимптотически оптимальной для интерполяционных сплайнов порядка \(r\), при этом \[ \inf_{\Delta_n}\left\|x^{\nu}-s^{(\nu)}_r(x,\Delta_n)\right\|_p= \left\|x^{\nu}-s^{(\nu)}_r(x,\Delta^*_n)\right\|_p(1+o(1))= \frac{\|D_{r+1-\nu}\|_p}{n^{r+1-\nu}}\|x^{(r+1)}\|_\alpha (1+o(1)). \]

Алгоритм оптимального выбора узлов имеет простую геометрическую интерпретацию, приведенную на следующем изображенн


Алгоритм выбора узлов

где \[ \Psi(t)=\int_a^t|x^{(r+1)}(\tau)|^\alpha d\tau. \]

Описание поверхностей тензорным произведением сплайнов.

Полезная литература. Книги.

  1. Bertka B.T. An Introduction to Bezier Curves, B-Splines, and Tensor Product Surfaces with History and Applications / B.T.Bertka .— Santa Cruz: University of California Santa Cruz, 2008 .— 13 с.
  2. Farin, G.E. Curves and Surfaces for Computer-Aided Geometric Design. A Practical Guide. Academic Press, 1990, 444 pp.
  3. Lancaster P. Curve and Surface Fitting. An Introdution / P.Lancaster, K.Salkauskas .— Calgary: Acadamic Press, 1990 .— 280 p.
  4. Larry L. Schumaker Spline functions: Basic theory. N.Y., John Wiley \& Sons, Inc, 1981, 556 p.
  5. Lyche Tom. Spline Methods. Draft / Tom.Lyche, K.Mørken .— Oslo: University of Oslo, 2008 .— 230 p.
  6. Schlichtkrull H. Curves and Surfaces. Lecture Notes for Geometry / H.Schlichtkrull .— Copenhagen: Department of Mathematics University of Copenhagen, 2011 .— 140 p.
  7. Алберг Д. Теория сплайнов и ее приложения / Д.Алберг, Э.Нильсон, Д.Уолш .— М.: Мир, 1972 .— 316 с.
  8. Алексеев В.М. Оптимальное управление / В.М.Алексеев, В.М.Тихомиров, С.В.Фомин .— М: Наука, 1979 .— 429 с.
  9. Ашкеназы В.О. Сплайн-поверхности: Основы теории и вычислительные алгоритмы: Учебное пособие / В.О.Ашкеназы .— Тверь: Тверской гос. ун-т, 2003 .— 82 с.
  10. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближения. - М., Изд.МГУ, 1983.
  11. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам / К.Де Бор .— М: Радио и связь, 1985 .— 303 с.
  12. Завьялов Ю.С. Методы сплайн - функций / Ю.С.Завьялов, Б.И.Квасов, В.Л.Мирошниченко .— М.: Наука, 1980 .— 350 с.
  13. Игнатов М.И. Натуральные сплайны многих переменных / М.И.Игнатов, А.Б.Певный .— Л.: Наука, 1991 .— 125 с.
  14. Квасов Б.И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами .— М.: Физматлит, 2006 .— 360 с.
  15. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения.-М.:Наука, 1984, 352 c.
  16. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения.-М.:Наука, 1976, 320 c.
  17. Лигун А.А. Асимптотические методы восстановления кривых / А.А.Лигун, А.А.Шумейко .— К.: Изд. Института математики НАН Украины, 1997 .— 358 с.
  18. Малоземов В.Н. Полиномиальные сплайны: Учеб.пособие / В.Н.Малоземов, А.Б.Певный .— Л.: Изд. Ленингр.ун-та, 1986 .— 120 с.
  19. Попов Б.А. Приближение функций для технических приложений / Б.А.Попов, Г.С.Теслер .— К.: Наукова думка, 1980 .— 350 с.
  20. Сплайни в цифровій обробці даних і сигналів. / І.В.Шелевицький, М.О.Шутко, В.М.Шутко, О.О.Колганова .— Кривий Ріг: Видавничій дім, 2008 .— 232 с.
  21. Стечкин С.Б. Сплайны в вычислительной математике / С.Б.Стечкин, Ю.Н.Субботин .— М: Наука, 1976. .— 248 с.
  22. Харди Г.Г. Неравенства / Г.Г.Харди, Д.Е.Литтльвуд, Г.Полиа .— М: ИЛ, 1948 .— 456 с.

Полезная литература. Статьи.

  1. Asymptotically Optimal Disposition of Tangent Points for Approximation of Smooth Convex Surfaces by Polygonal Functions / A.Ligun, A.Shumeiko, S.Radzevich, E.Goodman // Computer Aided Geometric Design .— 1997 .— №14 .— P.1-14.
  2. Asymptotically optimum recovery of smooth contours by Bezier curve / A.Ligun, A.Shumeiko, S.Radzevich, E.Goodman // Computer Aided Geometric Design .— 1998 .— №15 .— P.495-506.
  3. Isogeometric analysis using T-splines / [Y.Bazilevs, V.M.Calo, .Cottrell та ін.] // Isogeometric analysis using T-splines .— 2009 .— №2 .— P.1-36.
  4. Виноградов В.Б. Способ описания поверхности геологических объектов сплайнами / В.Б.Виноградов // Литосфера .— 2009 .— №3 .— C.91-93.
  5. Женсыкбаев А.А. Моносплайны минимальной нормы и наилучшие квадратурные формулы.- Успехи матем. наук, 1976, 36, вып.4 (220), с.107-159.
  6. Лигун А.А. Об оптимальном выборе узлов при приближении функций интерполяционными сплайнами / А.А.Лигун, А.А.Шумейко // ЖВМ и МФ .— 1984 .— №9 (24) .— C.1283-1293.
  7. Лигун А.А. Об оценках снизу приближения индивидуальных функций локальными сплайнами с нефиксированными узлами / А.А.Лигун, А.А.Шумейко // Украинский математический журнал .— 1999 .— №12 (51) .— C.1628-1637.
  8. Моторный В.П. О наилучшей квадратурной формуле для некоторых классов периодических дифференцируемых функций.- Известия АН СССР, Сер.матем., 1974, 38, с.583-614.
  9. Шумейко А.А. О приближении снизу функций сплайнами наилучшего приближения со свободными узлами / А.А.Шумейко // Украинский математический журнал .— 2000 .— №4 (52) .— C.1512-1523.