Метод нечеткой оценки рисков инвестиционного проекта.

Пример взят из книги Недосекин А. Нечеткий финансовый менеджмент (Alexey Nedosekin - cт. консультант Siemens Business Services)

Для оценки рисков инвестиций будем использовать равенство, позволяющее найти чистую ценность инвестиций на данный момент времени (NPV-Net Present Value), при условиях:

Инвестиционные поступления поступили на начало проекта.
Оценка ликвидационной стоимотси проекта проводится после окончания срока жизни проекта.

Тогда \begin{equation}\label{1} NPV=-I+\sum_{i=1}^n\frac{\Delta V_i}{(1+r_i)^i}+\frac{C}{(1+r_{n+1})^{n+1}}, \end{equation} здесь \(I\) -начальный объем инвестиций, \(n\) -число этапов инвестиционного процесса на всем периоде жизни проекта, \(\Delta V_i\) оборотное сальдо поступлений и платежей на \(i\)-м этапе, \(r_i\)-ставка дисконта \(i\)-го этапа с учетом оценок ожидаемой стоимости используемого в проекте капитала (например, ожидаемая ставка по долгосрочным кредитам), С-ликвидационная стомиость чистых активов, сложившаяся в ходе инвестиционного процесса.
Инвестиционный проект считается эффективным, если NPV больше определенного проектного уровня G (в самом простом случае G=0).
Если все параметры, входящие в вычисление NPV обладают нечеткостью, те есть, точное планируемое значение известно только примерно, то в качестве исходных данных можно использовать треугольные числа.

Итак, пусть
\(I=(I_\min,\hat{I},I_\max)\)- примерная оценка возможные инвестиционных вложений в проект.
\(r_i=(r_{i\min},\hat{r_i},r_{i\max})\)- примерная оценка стоимости капитала, используемого в проекте (например, соотношение собственных и заемных средств).
\(\Delta V_i=(V_\min,\hat{\Delta V_i},V_\max)\)- прогнозируемый диапазон изменения финансовых результатов реализации проекта с учетом возможных колебаний цен на реализуемую продукцию, стоимости используемых ресурсов и пр.
\(C=(C_\min,\hat{C},C_\max)\)- потенциальные условия будущей продажи действующего бизнеса или его ликвидации.
\(G=(C_\min,\hat{G},G_\max)\) - нечеткий криторий, в соответствии с которым проект может быть признан эффективным. Заметим, что выбирая ожижаемую оценку G, инвестор может руководствоваться не только тактическими, но и стратегическими соображениями, он может позволить проекту быть даже убыточным, если проект деверсифицирует его деятельность и повышает надежность бизнеса в целом.
В дальнейшем для работы с нечеткими данными потребуются операции сегментного анализа. Зададимся фиксированным уровнем принадлежности α и по двум нечетким числам A=[a₁,a₂] и B=[b₁,b₂] определим соответствующие интервалы достоверности:

[a₁,a₂] + [b₁,b₂]=[a₁+b₁,a₂+b₂],
[a₁,a₂] - [b₁,b₂]=[a₁-b₁,a₂-b₂],
[a₁,a₂] * [b₁,b₂]=[a₁*b₁,a₂*b₂],
[a₁,a₂] / [b₁,b₂]=[a₁/b₂,a₂/b₁],
\([a_1,a_2]^i=\left[a^i_1,a^i_2\right]\).

Теперь для фиксированного уровня принадлежности α определим соответствующие интервалы достоверности \([I_1,I_2],[r_{i1},r_{i2}], [\Delta V_{i1},\Delta_{i2}],[C_1,C_2]\). Тогда для заданного уровня α получаем \[ [NPV_1,NPV_2]=-[I_1,I_2]+\sum_{i=1}^n\left[\frac{\Delta V_{i1}}{(1+r_{i1})^i},\frac{\Delta V_{i2}}{(1+r_{i2})^i}\right]+\left[\frac{C_1}{(1+r_{n+1,1})^{n+1}},\frac{C_2}{(1+r_{n+1,2})^{n+1}}\right]= \left[-I_2+\sum_{i=1}^n\frac{\Delta V_{i1}}{(1+r_{i2})^i}+\frac{C_1}{(1+r_{n+1,2})^{n+1}},-I_1+\sum_{i=1}^n\frac{\Delta V_{i,2}}{(1+r_{i1})^i}+\frac{C_2}{(1+r_{n+1,1})^{n+1}}\right]. \]

Оценка рисков проекта на основе нечетких описаний

Пусть известны функции принадлежности NPV и критериального значения G

Точкой пересечения этих двух функций будет точка с ординатой \(\alpha_1\). Выберем произвольный уровень принадлежности \(\alpha\) и определим соответствующие интервалы [NPV₁,NPV₂] и [G₁,G₂]. При \(\alpha>\alpha_1\) выподняется неравенство NPV₁>G₂, интервалы не пересекаются и уверенность в том, что проект эффективен, полная, поэтому степень риска инвестиционного проекта нулевая. Уровень \(\alpha_1\) назывется верхней границей зоны риска. При \(0\le \alpha\le \alpha_1\) интервалы имеют непустое пересечение.

В зависимости от значения уровня принадлежности, зона неэффективных инвистиций представляет собой многоугольник с площадью \begin{equation}\label{8} S_\alpha=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & \hbox{ при } NPV_1\ge G_2,\\ \frac{(G_2-NPV_1)^2}{2}, & \hbox{ при } G_2\gt NPV_1,NPV_2\ge G_2,\\ \frac{(G_1-NPV_1)+(G_2-NPV_1)}{2}(G_2-G_1), & \hbox{ при } NPV_1\lt G_1, NPV_2\ge G_2,\\ (G_2-G_1)(NPV_2-NPV_1)-\frac{(NPV_2-G_1)^2}{2}, & \hbox{ при } NPV_1\lt G_1\le NPV_2,NPV_2\lt G_2,\\ (G_2-G_1)(NPV_2-NPV_1), & \hbox{ при }NPV_2\ge G_1. \end{array} \right. \end{equation} Поскольку все реализации (NPV,G) при заданном уровне принадлежности α равновозможны, то степень риска неэффективности проекта \(varphi(\alpha)\) есть геометрическая вероятность события попадания точки (NPV,G) в зону неэффективных инвестиций \begin{equation}\label{9} \varphi(\alpha)=\frac{S_\alpha}{(G_2-G_1)(NPV_2-NPV_1)}. \end{equation} Тогда итоговое значение степени риска неэффективности проекта \begin{equation}\label{10} VM=\int_{0}^{\alpha_1}\varphi(\alpha)d\alpha. \end{equation} В важном частном случае, когда ограничение G определено четким значением \(G_2\to G_1=G\), получаем \begin{equation}\label{11} \varphi(\alpha)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & \hbox{ при }G\lt NPV_1, \\ \frac{G-NPV_1}{NPV_2-NPV_1}, & \hbox{ при } NPV_1\le G\le NPV_2,\\ 1, & \hbox{ при }G\gt NPV_2. \end{array} \right. \end{equation} Чтобы найти все необходимые величины для оценки риска, нужны значения обратной функции \(\mu_{NPV}^{-1}(\alpha_1)\). Первое значение (по определению верхней границы зоны риска) есть G, второе обозначим G'. Аналогично, NPV_min и NPV_max значения обратной функции \(\mu_{NPV}^{-1}(0)\). Через \(\overline{NPV}\) обозначим наиболее ожидаемое значение NPV. Тогда \begin{equation}\label{12} VM=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & \hbox{ при }G\lt NPV_\min, \\ R\left(1+\frac{1-\alpha_1}{\alpha_1}\ln (1-\alpha_1)\right), & \hbox{ при } NPV_\min\le G\lt \overline{NPV},\\ 1-(1-R)\left(1+\frac{1-\alpha_1}{\alpha_1}\ln (1-\alpha_1)\right), & \hbox{ при } \overline{NPV}\le G\lt {NPV}_\max,\\ 1, & \hbox{ при }G\ge NPV_\max, \end{array} \right. \end{equation} где \[ R=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{G-NPV_\min}{NPV_\max-NPV_\min}, & \hbox{ при } G\lt NPV_\max,\\ 1, & \hbox{ при }G\ge NPV_\max, \end{array} \right. \] \[ \alpha_1=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & \hbox{ при }G\lt NPV_\max,\\ \frac{G-NPV_\min}{\overline{NPV}-NPV_\min}, & \hbox{ при } NPV_\min\le G\lt \overline{NPV},\\ 1, & \hbox{ при }G= \overline{NPV},\\ \frac{NPV_\max-G}{NPV_\max-\overline{NPV}}, & \hbox{ при } \overline{NPV}\lt G\lt NPV_\max,\\ 0, & \hbox{ при }G\ge NPV_\max. \end{array} \right. \] Рассмотрим несколька важных частных случаев:

При \(G=NPV_\min\) (предельно низкий риск) R=0,α₁=0,G'=NPV_max и получаем VM=0.
При \(G=G'=\overline{NPV}\) (средний риск) \(\alpha_1=1,R=\frac{NPV_\max=\overline{NPV}}{NPV_\max-NPV_\min}\) дает \(VM=\frac{NPV_\max-\overline{NPV}}{NPV_\max-NPV_\min}\)/
При G=NPV_max (предельно высокий риск) получаем α₁=0,G'=0 и VM=1.

Каждый инвестор, исходя из своих инвестиционных предпочтений, может классифицировать значения VM, выделив множество неприемлемых рисков. Возможна более подробная градация степеней риска, в этом случае можно ввести лингвистическую переменную "Степень риска" с множеством значений {Незначительная, Низкая, Средняя, Относительно высокая, Неприемлемая}, что позволит уточнить описание соответствующих нечетких подмножеств.

Пример.

Исходные данные проекта n=2, I=(1,1,1)- точно известен размер инвестиций, \(r_1=r_2=r=\)( 0.1, 0.2, 0.3) (чтобы изменить данные, кликните мышкой по соответствующему значению), \(\Delta V_1=\Delta V_2=\)( 0, 1, 2) (чтобы изменить данные, кликните мышкой по соответствующему значению), C=(0,0,0) -остаточная стоимость проекта нулевая, G=(0,0,0) - критерием эффективности является неотрицательное значение NPV.

Результаты расчетов эффективности проекта

Все, что лежит с левой стороны от G представляет собой зону неприемлемого риска.
Проаппроксимируем полученное NPV треугольным числом .

Залитая часть представляет собой зону неприемлемого риска.
Пусть принято положительное решение об инвестировании капитала I. Тогда α₁=μ_NPV=, G'=\(\mu_{NPV}^{-1}(\alpha_1)\)= и R=, VM=.
Пусть принято решение о начале инвестиционного процесса и по результатам первого этапа зафиксировано оборотное сальдо \(\Delta V_1=1\), то есть, оборотное сальдо описывается треугольным числом (1,2,3) при фактически измеренной ставке дисконтирования \(r_1=0.2\), тогда объем инвестиций, вложенный на первом этапе составляет I/(1+2+3)=0.16(6)I, а пересчет интервальной оценки дает \[ [NPV_1,NPV_2]= \left[-0.167+\frac{\Delta V_{2,1}}{(1+r_{2,2})^2},-0.167+\frac{\Delta V_{2,2}}{(1+r_{2,1})^2}\right]. \] Пересчет результатов эффективности проекта

Приведем полученное NPV к треугольной форме

Тогда получаем VM=0.013. Таким образом, за счет снижения уровня неопределенности степень риска существенно снизилась, то есть, у инвестора появился эффективный инструмент контроля рисков инвестиционного процесса.

Интервально-симметричные оценки риска инвестиций.

Рассмотрим процесс бизнес-планирования в размытых условиях, когда неопределенность исходных данных позволяет порождать интервально-симметричные оценки, например, минимум продаж - 5 млн. €, максимум продаж 10 млн. €, тогда среднее 7.5 млн. €.
Интервально-симметричные величины можно характризовать не тремя, а двумя действительными числами - средним значением и разбросом от среднего.
Если все параметры бизнес-плана интервально-симметричные, то можно привести результирующий показатель эффективности - чистую ценность проекта на текущий момент (NPV) - к интервально-симметричному виду.
Пусть NPV_av - среднеожидаемое значение NPV, Δ- разброс NPV от среднего, то есть, Δ=NPV_av-NPV_min=NPV_max-NPV_av, NPV=NPV_av±Δ.
Введем коэффициент устойчивости бизнес-плана: \[ \lambda=\frac{NPV_{av}}{\Delta}. \] Ясно, что чем выше коэффициент устойчивости бизнес-плана, тем надежнее принимаемое инвестиционное решение. При \(\lambda\to\infty\) разброса данных нет и инвестиционный проект может быть принят или отвергнут без риска ошибочного решения. В реальности всегда существуют сценарии неблагоприятного развития событий, когда \(NPV_{min}=NPV_{av}-\Delta\lt 0\), то есть, λ<1.
Заметим, что рациональные инвестиционные проекты предполагают положительный среднеожидаемый результат проекта, то есть, выполнение условия λ>0.
Рассмотрим риск ивестиционного проекта при допущении об устойчивости проекта в пределах 0<λ<1.
Если NPV проекта - треугольное число (NPV_min,NPV_av,NPV_max), тогда риск проекта RE (Risk Estimation - ожидаение того, что NPV<0) оценивается следующим образом \[ RE=\int_0^{\alpha_1}\varphi(\alpha)d\alpha, \] где \[ \varphi(\alpha)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & \hbox{ при }0\lt NPV_1, \\ \frac{-NPV_1}{NPV_2-NPV_1}, & \hbox{ при } NPV_1\le 0\le NPV_2,\\ 1, & \hbox{ при }0\gt NPV_2. \end{array} \right. \] при \(\alpha\in [0,1]\), и \[ NPV_1=NPV_{\min}+\alpha(NPV_{av}-NPV_\min),\\ NPV_2=NPV_{\max}-\alpha(NPV_{\max}-NPV_{av}),\\ \alpha_1=-\frac{NPV_\min}{NPV_{av}-NPV_\min}. \] Пусть \[ \ell=-NPV_\min,m=NPV_{av}-NPV_\min,q=NPV_\max-NPV_\min. \] Тогда \[ RE=\int_0^{\alpha_1}\varphi(\alpha)d\alpha=\int_0^{\alpha_1}\frac{\ell-m\alpha}{q(1-\alpha)}d\alpha=\frac{m}{q}\alpha_1-\frac{\ell-m}{q}\ln(1-\alpha_1)= \frac{-NPV_\min}{NPV_\max-NPV_\min}+\frac{NPV_{av}}{NPV_\max-NPV_\min}\ln\frac{NPV_{av}}{NPV_{av}-NPV_\min}. \] С учетом симметричности оценок имеем \[ RE=\frac{\Delta-NPV_{av}}{2\Delta}+\frac{NPV_{av}}{2\Delta}\ln\frac{NPV_{av}}{\Delta}=\frac{1}{2}+\frac{\lambda}{2}(\ln\lambda-1). \]

Как видно, приемлемый риск проекта составляет до 10% (на этом участке риск-функция изменяется медленно, почти линейно), при риске от 10% до 20% наблюдается пограничная ситуация, а при риске свыше 20% риск неприемлем.

Уровень риска и риск-статус проекта

Значение λ	Уровень риска проекта	Риск-статус проекта
0.44-1	<10%	Приемлемый риск
0.25-0.44	10%-20%	Пограничный риск
0-0.25	>20%	Неприемлемый риск

Пример.
По результатам финансового анализа бизнес-плана получена треугольная интервально-симметричная оценка NPV=( -40, 40, 120) (чтобы изменить данные, кликните мышкой по соответствующему значению) тыс. €, то есть NPV= тыс. €. Найдем риск-статус проекта.
Тогда .