Принятие решений в нечетких условиях.

Принятие решений - это процесс решения проблем, который приводит к действию. По сути, это выбор между различными способами достижения цели. Принятие решений играет важную роль в бизнесе, финансах, управлении, экономике, социальных и политических науках, технике и информатике, биологии и медицине. Процесс этот достаточно сложный из-за таких факторов, как неполная и неточная информация, субъективность, которые, как правило, представлены в реальных ситуациях в меньшей или большей степени. Эти факторы указывают на то, что процесс принятия решений происходит в нечеткой среде.
Рассмотрим два метода принятия решений на основе нечетких множеств и нечеткой логики.
Согласно первому подходу (Беллман-Заде (1970)), принятие решений определяется как пересечение целей и ограничений, описываемых нечеткими множествами.
Второй подход к принятию решений объединяет цели и ограничения с использованием нечеткого усреднения. Применяется для различных реальных ситуаций, требующих выбора или оценки.

Принятие решений путем пересечения нечетких целей и ограничений

Принятие решений характеризуется выбором из доступных альтернатив, если они найдены или обнаружены. В процессе принятия решений должны быть достигнуты определенные цели и соблюдены определенные ограничения.
Рассмотрим простую модель принятия решений, состоящую из цели, описываемой нечетким множеством G с функцией принадлежности µG (x), и ограничения, описываемого нечетким множеством C с функцией принадлежности µC (x), где x является элементом четкого множества альтернатив Aalt.
По определению (Bellman и Zadeh (1970)) решение представляет собой нечеткое множество D с функцией принадлежности µD (x), выраженной как пересечение G и С. \begin{equation}\label{3.1} D=G\cap C=\left\{\left(x,\mu_D(x)\right)|x\in [d_1,d_2],\mu_D(x)\in [0,h\le 1]\right\}. \end{equation} Множество решений, приводящее к выбору четкого набора \([d_1; d_2]\) из множества альтернатив \(A_{alt}; µ_D (x)\) указывает степень, до которой любое \(x \in [d_1; d_2]\) принадлежит решению D. Схематически это представлено на рисунке, когда \(x \in A_{alt} \subset R\), а также G и C имеют монотонные непрерывные функции принадлежности.


Нечеткая цель G, ограничение C, решение D, максимальное решение xmax.

Используя функции принадлежности и пересечение операций, получаем \begin{equation}\label{3.2} µ_D (x) = \min (µ_G (x); µ_C (x)), x \in A_{alt}. \end{equation} Пересечение является коммутативной операцией, поэтому цель и ограничение можно формально поменять местами, то есть D = G \ C = C \ D.
На самом деле, существуют реальные ситуации, в которых цель может рассматриваться как ограничение и наоборот. Иногда нет необходимости указывать цель или ограничение, тогда просто называем их целями или аспектами проблемы.
Обычно лицо, принимающее решения, желает получить четкий результат, то есть, значение среди элементов набора \([d_1; d_2] \subset A_{alt}\), которое наилучшим образом или адекватно представляет нечеткий набор D. Для этого требуется провести дефаззификацию D. Для этой цели естественно принять значение x из выбранного набора \([d_1; d_2]\) с наивысшей степенью принадлежности к множеству D. Такое значение x максимизирует \(µ_D (x)\) и называется максимизирующим решением, что может быть выражено следующим образом \begin{equation}\label{3.3} x_\max = \left\{x|\max µ_D (x) = \max \min (\mu_G (х),\mu_C (х)) \right\}.\end{equation} Процесс принятия решения показан в виде блок-схемы


Процесс принятия решения в нечетких условиях.

Формулы (\ref{3.1})-(\ref{3.3}) можно обобщить для моделей принятия решений со многими целями и ограничениями (Bellman и Zadeh (1970)).
Для n целей \(G_i, i=1,...,n\) и m ограничений \(C_j; j = 1,...,m\) решением является \begin{equation}\label{3.4} D = G_1\cap ...\cap G_n \cap C_1\cap ...\cap C_m, \end{equation} функция принадлежности к D \begin{equation}\label{3.5} µ_D (x) = \min (µ_{G_1} (x),..., µ_{G_n} (x),µ_{C_1} (x),...,µ_{C_m} (x)), x \in A_{alt}. \end{equation} и максимизирующее решение \begin{equation}\label{3.6} x_\max = \{x|µ_{D}\to \max\}. \end{equation} В качестве иллюстрации, рассмотрим на множестве альтернатив \(A_{alt} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) цели G и ограничения C, заданные дискретными нечеткими множествами. \[ G=\{(1,0),(2,0.2),(3,0.4),(4,0.6),(5,0.8),(6,1))\}\\ C=\{(1,1),(2,0.9),(3,0.7),(4,0.6),(5,0.2),(6,0))\}. \] Следуя (\ref{3.2}), получаем \[ D=G\cap C=\{(1,\min(0,1)),(2,\min(0.2,0.9)),(3,\min(0.4,0.7)),(4,\min(0.6,0.6)),(5,\min(0.8,0.2)),(6,\min(1,0))\}=\\ \{(1,0),(2,0.2),(3,0.4),(4,0.6),(5,0.2),(6,0)\}. \]


Цели G (точки), ограничения С (крестики) и нечеткое решение D (кружочки).

Здесь \([d_1; d_2] = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, h = 0.6\) и максимальное решение - это \(x_\max = 4\) с наивысшей степенью принадлежности к D, равной 0,6.
Идея Беллмана и Заде может быть сформулиролвана следующим образом "Решение = Слияние Целей и Ограничений".

Распределение дивидендов

В компании совет директоров, с одной стороны, готов платить привлекательным дивиденды акционерам, а с другой стороны, они должны быть скромными.
Привлекательный дивиденд рассматривается как цель G, описываемая нечетким множеством, определенным для некоторого набора альтернатив \(A_{alt} = \{x|0 \lt x \le a\}\), где x измеряется в некоторых денежных единицах. Функция принадлежности \(µ_G (x)\) возрастающая на интервале \(A_{alt}\). Скромный дивиденд - это ограничение C, описываемое нечетким множеством \(A_{alt}\) с убывающей функцией принадлежности \(µ_C (x)\).
Предположим, что цель нечеткого множества G, привлекательный дивиденд, определенный на множестве альтернатив \( A_{alt} = \{x|0 \lt x \le 8\}\) как \[ G\stackrel{\triangle}{=}\mu_G(x)= \left\{ \begin{array}{lll} 0, & \hbox{для} & 0\lt x\le 1,\\ \frac{x-1}{4}, & \hbox{для} & 1\le x\le 5,\\ 1, & \hbox{для} & 5\le x\le 8, \end{array} \right. \] и ограничение нечеткого множества C, соответствуюшее скромному дивиденду, задается на \(A_{alt}\) \[ C\stackrel{\triangle}{=}\mu_C(x)= \left\{ \begin{array}{lll} 1, & \hbox{для} & 0\lt x\le 2,\\ -\frac{x-6}{4}, & \hbox{для} & 2\le x\le 6,\\ 0, & \hbox{для} & 6\le x\le 8, \end{array} \right. \] Согласно (\ref{3.1}) решение D нечеткого множества представляется его функцией принадлежности, что показано на рисунке


Нечеткая цель G, ограничение C, решение D, максимальное решение xmax.

Здесь \([d_1; d_2]= [1; 6]\), точка пересечения прямых \(µ =\frac{x-1}{4}\) и \(µ = -\frac{x-6}{4}\) равна (3.5, 0.625), то есть \(x_\max = 3.5; h =\max µ_D (x) = 0.625\). Дивиденды, подлежащие выплате, составляют 3,5 денежных единиц.

Политика приема на работу

Компания рекламирует позицию, на которую претендуют кандидаты \(x_k, k = 1,...,р\). Претенденты образуют дискретный набор альтернатив \(A_{alt} = \{x_1,...,x_p\}\). Менеджер по кадрам требует от кандидатов обладания определенными качествами, такими как опыт, знания в определенных областях и т.д., которые рассматриваются как цели \(G_i; i = 1,...,n\). Кроме того, он хочет наложить некоторые ограничения \(C_j, j = 1,...,m\), например, скромная зарплата и тд. В конце процесса собеседования каждый кандидат \(x_k\) оценивается с точки зрения как целей, так и ограничений по шкале от 0 до 1. Оценка, присвоенная кандидату \(x_k\) относительно целей \(G_i\), обозначается \(a_{k_i}\), а оценка ограничений C обозначается через \(b_{k_j}\). Используя оценки, получаем дискретные нечеткие множества \(G_i\) и \(C_j\) на множестве альтернатив \(A_{alt}\): \[ G_i=\{(x_1,a_{1_i}),...,(x_p,a_{p_i})\},i=1,...,n,\\ C_j=\{(x_1,b_{1_j}),...,(x_p,b_{p_j})\},j=1,...,m. \] Тогда, в соответствии с (\ref{3.4}) решение можно записать в виде \[D = G_1\cap ...\cap G_n \cap C_1\cap ...\cap C_m,\] и с учетом (\ref{3.5}) \begin{equation}\label{3.8} D=\{(x_1,\mu_1),...,(x_p,\mu_p),\} \end{equation} где \[ \mu_k=\min\{a_{k_1},...,a_{k_n},b_{k_1},...,b_{k_m}\},k=1,...,p. \] Кандидат с наивысшей оценкой членства среди \(µ_1,...,\mu_p\) будет считаться лучшим кандидатом на работу.
Предположим, что компания хочет заполнить должность, на которую есть пять кандидатов \(x_i, i = 1,...,5\), которые образуют множество альтернатив, \(A_{alt} = \{x_1, х_2, x_3, x_4, x_5\}\). Менеджер по кадрам имеет три цели, которым кандидаты должны удовлетворить:
  1. опыт,
  2. умение работать на компьютере,
  3. молодой возраст.
Также у HR-менеждера есть ограничение - предлагаемая зарплата должна быть скромной. После серьезного обсуждения каждый кандидат оценивается с точки зрения целей и ограничений. HR-менеждер строит нечеткие множества на множестве альтернатив ( n = 3 и m = 1): \[ G_1=\{(x_1,0.8),(x_2,0.6),(x_3,0.3),(x_4,0.7),(x_5,0.5)\}\\ G_2=\{(x_1,0.7),(x_2,0.6),(x_3,0.8),(x_4,0.2),(x_5,0.3)\}\\ G_3=\{(x_1,0.7),(x_2,0.8),(x_3,0.5),(x_4,0.5),(x_5,0.4)\}\\ C =\{(x_1,0.4),(x_2,0.7),(x_3,0.6),(x_4,0.8),(x_5,0.9)\}. \] Здесь \(G_1\) представляет опыт, \(G_2\) знание компьютера, \(G_3\) молодой возраст и C определяет готовность кандидатов принять скромную зарплату.
Используя (\ref{3.8}), получаем решение \[ D =\{(x_1,0.4),(x_2,0.6),(x_3,0.3),(x_4,0.2),(x_5,0.3)\}. \] Кандидат \(x_2\) имеет наивысшую оценку членства 0.6, следовательно, является лучшим кандидатом на работу.

Выбор для строительства

Строительная компания планирует возвести в городе четыре здания. Ресурсов на одновременное строительство нет, поэтому их можно построить только по очереди.
Строительная компания хочет выбрать здание, которое будет построено первым. Здания \(b_i,i= 1,...,4\), формируют множество альтернатив \(A_{alt}\). Компания предпочитает (имеет цель) построить здание, которое не очень важно для города, но его сооружение очень прибыльно, а время строительства довольно длительное, при этом, компания также знает, что городской совет предпочитает, чтобы первое здание было очень важным для города, с коротким временем строительства и разумной стоимостью строительства. Эти условия формируют ограничения для компании. Руководство компании описывает цели и ограничения с помощью нечетких множеств: \[ G_1\stackrel{\triangle}{=} \hbox{не очень важно } b = \{(b_1,0), (b_2, 0.4), (b_3, 0.3), (b_4, 0.8) \}, \] \[ G_2\stackrel{\triangle}{=} \hbox{высокодоходный } b = \{(b_1,0.5), (b_2, 0.6), (b_3, 0.7), (b_4, 0.3) \}, \] \[ G_3\stackrel{\triangle}{=} \hbox{длительное время строительства } b = \{(b_1,0.8), (b_2, 0.7), (b_3, 1), (b_4, 0.2) \}, \] \[ C_1\stackrel{\triangle}{=} \hbox{очень важно } b = \{(b_1,1), (b_2, 0.6), (b_3, 0.7), (b_4, 0.2) \}, \] \[ C_2\stackrel{\triangle}{=} \hbox{короткое время строительства } b = \{(b_1,0.3), (b_2, 0.4), (b_3, 0.5), (b_4, 0.7) \}, \] \[ C_3\stackrel{\triangle}{=} \hbox{разумная стоимость } b = \{(b_1,0.3), (b_2, 0.4), (b_3, 0.7), (b_4, 0.2) \}. \] В соответствии с соотношением (\ref{3.8}) выпишем решение \[ D = G_1 \cap G_2 \cap G_3 \cap C_1 \cap C_2 \cap C_3 = \{ (b_1, 0), (b_2, 0.4), (b_3, 0.3), (b_4, 0.2) \}. \] Решение руководства компании заключается в предложении по строительству здания \(b_2\), которое имеет в наборе D максимальное значение, равное 0,4. Это решение наилучшим образом соответствует целям и ограничениям. Если предложение не будет принято городским советом, то управление готово предложить для строительства здание \(b_3\), которое является вторым выбором (значение 0,3 в D).
Заметим, что \(G_1\stackrel{\triangle}{=} \hbox{не очень важно } b\) является дополнением к \(C_1\stackrel{\triangle}{=} \hbox{очень важно } b\), то есть \(µ_{C_1} (b) = 1 - µ_{G_1} (b)\). Тем не мение, \(C_2\stackrel{\triangle}{=} \hbox{короткое время строительства } b \) близка, но не равна дополнению \(G_3\stackrel{\triangle}{=} \hbox{длительное время строительства } b\), т.е. \(µ_{C_2} (b) ≈ 1 - µ_{G_3} (b)\).
Лингвистические конструкции "короткий" и "длинный" как слова имеют противоположное значение и могут быть описаны нечеткими множествами, которые почти дополняют друг друга, т. е. короткие - не длинные \(µ_{short} (x) ≈ 1 - µ_{long} (x) = µ_{notlong} (x)\). Однако нужно быть осторожным с толкованием слов с противоположным смыслом.

Жилищная политика для семей с низким доходом.

Городской совет проводит жилищную политику для семей с низким доходом, проживающих в старом многоквартирном доме, который расположеннен на большом участке. Обсуждаются три альтернативных проекта: p1 (ремонт и управление жильем), p2 (программа передачи прав собственности) и p3 (новое строительство). Множество альтернатив \(A_{alt} = \{p_1, p_2;=,p_3\}\). Проекты \(p_1\) и \(p_3\) потребуют частичного и полного переселения семей.
Городской совет, используя анализ экспертов и различных заинтересованных групп, после долгих обсуждений устанавливает три цели и одно ограничение, описываемое нечеткими множествами на \(A_{alt}\) следующим образом: \[ G_1\stackrel{\triangle}{=} \hbox{улучшенное качество жилья } = \{(p_1,0.2), (p_2, 0.4), (p_3, 0.8)\}, \] \[ G_2\stackrel{\triangle}{=} \hbox{увеличение размеров жилья } = \{(p_1,0.1), (p_2, 0), (p_3, 0.9)\}, \] \[ G_3\stackrel{\triangle}{=} \hbox{улучшение жизненной среды } = \{(p_1,0.4), (p_2, 0.5), (p_3, 0.8)\}, \] \[ С_1\stackrel{\triangle}{=} \hbox{разумные затраты } = \{(p_1,0.8), (p_2, 0.9), (p_3, 0.4)\}, \] Согласно (\ref{3.1}) решение будет иметь вид \[ D = \{ (p_1, 0.1), (р_2,0), (р_3, 0.4) \}. \] Проект \(p_3\) с наибольшей степенью участия 0,4 предпочтительнее, чем \(p_1\) и \(p_2\). Это лучше, когда речь идет о целях, но не достаточно удовлетворяет ограничению на стоимость.

Стратегия выбора работы.

Пусть некий профессионал в своей области, скажем Мария, выбирает среди вакансий нескольких компаний \(c_1,...,c_n\). Этот набор образует множество альтернатив \(A_{alt} = \{c_1,...,c_n\}\). Мария, имея цель получить высокую зарплату, также имеет в виду определенные требования, такие как интересная работа, место работы на близком расстоянии от дома, компания с будущим, возможность быстрого карьерного продвижения и т. д. Эти требования являются аспектами проблемы и могут рассматриваться как ограничения. Мария определяет цель высокой зарплаты на основании набора G с функцией принадлежности µG (x), которая является возрастающей в наборе зарплат, расположенном в \(R^+\). Она также строит множество ограничений на множестве альтернатив \(A_{alt}\), придавая каждой компании значение принадлежности в соответствии с ее мнением.
Здесь цель определяется на \(R^+\), в то время как ограничения определяются на дискретном множестве компаний, поэтому необходима корректировка алгоритмов, рассмотренных ранее. Набор заработной платы может быть преобразован в множество из \(A_{alt}\). Для этого размер зарплаты \(s_1,...,s_n\), предлагаемой компаниями \(c_1,...,c_n\), соответственно, подставляются в µG (x) и значения \(µ_G (s_1),...,µ_G (s_n)\), ассоциированные с \(c_1,...,c_n\), формируют множество зарплат на \(A_{alt}\): \[ G_{alt} = \{ (c_1, µ_G (s_1)),...,(c_n, µ (s_n)) \}. \] Предположим, что Мария должна выбрать одну из трех работ, предложенных ей тремя разными компаниями c1, с2 и с3, следовательно, множество альтернатив \(A_{alt} = \{c_1, c_2, c_3\}\). Заработная плата в приведена таблице
Компания c1c2c3
Зарплата40 00035 00030 000
У Марии есть цель - работать на высокую зарплату с учетом ограничений:
  1. интересная работа,
  2. место работы на близком расстоянии от дома,
  3. компания с будущим.
Мария использует свое субъективное суждение, чтобы определить цель и описывает ограничения с помощью дискретных нечетких множеств \[ C_1 = \{ (c_1, 0.5), (с_2, 0.7), (с_3, 0.8)\}, \] \[ C_2 = \{ (c_1, 0.3), (с_2, 0.8), (с_3, 1)\}, \] \[ C_3= \{ (c_1, 0.3), (с_2, 0.7), (с_3, 0.5)\}, \] на множестве альтернатив (это универсальный набор для \(C_1, C_2\) и \(C_3\)) и цели G высокой заработной платы с помощью функции принадлежности \[ G\stackrel{\triangle}{=}\mu_G(x)= \left\{ \begin{array}{lll} 0, & \hbox{ для } 0\lt x\lt 25000,\\ \frac{x-25000}{20000}, & \hbox{ для } 25000\le x\le 45000,\\ 1, & \hbox{ для }x \ge 45000. \end{array} \right. \]


Нечеткая цель G- высокая зарплата.

Чтобы применить формулу принятия решения, Мария должна иметь дело с одним универсальным набором - набором альтернатив. Для этого она создает значения функции принадлежности, подставляя в \(\mu_G(x)\) вместо х, зарплаты, соответствующие альтернативам, \[ \mu_G(40 000) = 0.75, \mu_G(35 000) = 0.5, \mu_G(30 000) = 0.25. \] Как следствие, цель нечеткого множества G на \(R^+\) теперь заменяется целью нечеткого множества \(G_{alt}\) на множестве альтернатив, \[ G_{alt} = \{ (c_1, 0.75), (с_2, 0.5), (с_3, 0.25) \}. \] Тогда решение будет иметь вид \[ D = G_{alt} \cap C_1 \cap C_2 \cap C_3 = \{ (c_1, 0.3), (с_2, 0.5), (с_3, 0.25)\}. \] Максимальное значение функции принадлежности в D составляет 0,5, поэтому если Мария хочет наилучшим образом выполнить свои цели, она должна устроиться на работу в компании \(c_2\).

Оценка успеваемости

Руководство компании Ноосфера учредило ежегодную стипендию для учащихся старших классов с отличными достижениями в области естественных наук (математика, физика, химия) и знания английского языка. Критерием являются лингвистические переменные, которыми руководство описало по 100-бальной шкале, отдельно уровень знаний для естественных наук (ES) и отдельно знание английского языка (EE), используя трапециевидные числа на промежутке [0; 100].


(а) Отлично в естественных науках. (b) Отлично по английскому языку.

Их использование дает функции принадлежности \[ ES\stackrel{\triangle}{=}\mu_{ES}(x)= \left\{ \begin{array}{lll} 0, & \hbox{ для } 0\le x\le 80,\\ \frac{x-80}{10}, & \hbox{ для } 80\le x\le 90,\\ 1, & \hbox{ для } 90\le x \le 100. \end{array} \right. \] \[ EE\stackrel{\triangle}{=}\mu_{EE}(x)= \left\{ \begin{array}{lll} 0, & \hbox{ для } 0\le x\le 80,\\ \frac{x-80}{15}, & \hbox{ для } 80\le x\le 95,\\ 1, & \hbox{ для } 95\le x \le 100. \end{array} \right. \] Оценка ученика по естественным наукам в 90 баллов приводит к значению принадлежности ES в 1 в то время как тот же балл по английскому языку имеет значение принадлежности EE только 0,67.
Пять студентов являются кандидатами на стипендию, х1 = Саша, х2 = Таня, х3 = Женя, х4 = Костя, х5 = Маша.
МатематикаФизикаХимияEnglish
Саша (х1)86919593
Таня (х2)98899390
Женя (х3)90929688
Костя (х4)96908889
Маша (х5)90879294
Оценки учащихся по естественным наукам и английскому языку
Получаем множество альтернатив \(A_{alt} = \{x_1, х_2, x_3, x_4, x_5\}\).
Используя функции принадлежности, получаем
МатематикаФизикаХимияEnglish
Саша (х1)0.6110.87
Таня (х2)10.910.67
Женя (х3)1110.53
Костя (х4)110.80.60
Маша (х5)10.710.93
Уровень знаний учащихся по естественным наукам и английскому языку
Отсюда получаем нечеткие множества уровня знаний в науках и английском языке, которые формируют цели или аспекты проблемы: \[ \hbox{успехи в математике }\stackrel{\triangle}{=}G_1,=\{(x_1,0.6),(x_2,1),(x_3,1),(x_4,1),(x_5,1)\}, \] \[ \hbox{успехи в физике }\stackrel{\triangle}{=}G_2,=\{(x_1,1),(x_2,0.9),(x_3,1),(x_4,1),(x_5,0.7)\}, \] \[ \hbox{успехи в химии }\stackrel{\triangle}{=}G_3,=\{(x_1,1),(x_2,1),(x_3,1),(x_4,0.8),(x_5,1)\}, \] \[ \hbox{Excellent in English }\stackrel{\triangle}{=}G_4,=\{(x_1,0.87),(x_2,0.67),(x_3,0.53),(x_4,0.6),(x_5,0.93)\}. \] Выпишем решение \[ D = G_1 \cap G_2 \cap G_3 \cap G_4= \{ (x_1, 0.6), (x_2, 0.67), (x_3, 0.53), (x_4, 0.6), (x_5, 0.7)\}. \] Отсюда вывод - \(х_5\), т.е. Мария со степенью членства 0,7 в D - учащаяся с лучшими показателями.